Задания на физический смысл производной егэ

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

15 мая 2014

Иногда в задаче 6 из ЕГЭ по математике вместо всеми любимых графиков функции или производной дается просто уравнение расстояния от точки до начала координат. Что делать в этом случае? Как по расстоянию найти скорость или ускорение.

На самом деле все просто. Скорость — это производная от расстояния, а ускорение — это производная скорости (или, что то же самое, вторая производная от расстояния). В этом коротком видео вы убедитесь, что такие задачи решаются ничуть не сложнее «классических» заданий 6.

Сегодня мы разберем две задачи на физический смысл производных из ЕГЭ по математике. Эти задания встречаются в части Bи существенно отличаются от тех, что большинство учеников привыкло видеть на пробниках и экзаменах. Все дело в том, что они требуют понимать физический смысл производной функции. В данных задачах речь пойдет о функциях, выражающих расстояния.

Если $S=xleft( t right)$, то $v$ мы можем посчитать следующим образом:

[v={S}’={x}’left( t right)]

Точно так же мы можем посчитать и ускорение:

[a={v}’={{S}’}’={{x}’}’left( t right)]

Эти три формулы – все, что вам потребуется для решения таких примеров на физический смысл производной. Просто запомните, что $v$ — это производная от расстояния, а ускорение — это производная от скорости.

Давайте посмотрим, как это работает при решении реальных задач.

Пример № 1

Материальная точка движется по закону:

[xleft( t right)=-frac{1}{5}{{t}^{5}}+{{t}^{4}}-{{t}^{3}}+5t]

где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите скорость точки (в м/с) в момент времени $t=2c$.

Это означает, что у нас есть функция, задающая расстояние, а нужно посчитать скорость в момент времени $t=2c$. Другими словами, нам нужно найти $v$, т.е.

[v={S}’={x}’left( 2 right)]

Вот и все, что нам нужно было выяснить из условия: во-первых, как выглядит функция, а во-вторых, что от нас требуется найти.

Давайте решать. В первую очередь, посчитаем производную:

[{x}’left( t right)=-frac{1}{5}cdot 5{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5]

[{x}’left( t right)=-{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5]

Нам требуется найти производную в точке 2. Давайте подставим:

[{x}’left( 2 right)=-{{2}^{4}}+4cdot {{2}^{3}}-3cdot {{2}^{2}}+5=]

[=-16+32-12+5=9]

Вот и все, мы нашли окончательный ответ. Итого, скорость нашей материальной точки в момент времени $t=2c$ составит 9 м/с.

Пример № 2

Материальная точка движется по закону:

[xleft( t right)=frac{1}{3}{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}+19t-11]

где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени ее скорость была равна 3 м/с?

Взгляните, в прошлый раз от нас требовалось найти $v$ в момент времени 2 с, а в этот раз от нас требуется найти тот самый момент, когда эта скорость будет равна 3 м/с. Можно сказать, что нам известно конечное значение, а по этому конечному значению нам требуется найти исходное.

В первую очередь, вновь ищем производную:

[{x}’left( t right)=frac{1}{3}cdot 3{{t}^{2}}-4cdot 2t+19]

[{x}’left( t right)={{t}^{2}}-8t+19]

От нас просят найти, в какой момент времени скорость будет равна 3 м/с. Составляем и решаем уравнение, чтобы найти физический смысл производной:

[{{t}^{2}}-8t+19=3]

[{{t}^{2}}-8t+16=0]

[{{left( t-4 right)}^{2}}=0]

[t-4=0]

[t=4]

Полученное число означает, что в момент времени 4 с $v$ материальной точки, движущейся по выше описанному закону, как раз и будет равна 3 м/с.

Ключевые моменты

В заключении давайте еще раз пробежимся по самому главному моменту сегодняшней задачи, а именно, по правилу преобразования расстояние в скорость и ускорение. Итак, если нам в задаче прямо описан закон, прямо указывающий расстояние от материальной точки до точки отсчета, то через эту формулу мы можем найти любую мгновенную скорость (это просто производная). И более того, мы можем найти еще и ускорение. Ускорение, в свою очередь, равно производной от скорости, т.е. второй производной от расстояния. Такие задачи встречаются довольно редко, поэтому сегодня мы их не разбирали. Но если вы увидите в условии слово «ускорение», пусть оно вас не пугает, достаточно просто найти еще одну производную.

Надеюсь, этот урок поможет вам подготовиться к ЕГЭ по математике.

Смотрите также:

1. Не допускайте таких ошибок, когда видите график производной в задаче 6 из ЕГЭ по математике!
2. ЕГЭ 2022, задание 6. Касательная и квадратичная функция с параметром
3. Схема Бернулли. Примеры решения задач
4. Комбинаторика в задаче B6: средний тест
5. Как решать задачи про летающие камни?
6. B4: счетчики на электричество

    Физический смысл производной. В состав ЕГЭ по математике входит группа задач для решения которых необходимо знание и понимание физического смысла производной. В частности, есть задачи, где дан закон движения определённой точки (объекта), выраженный уравнением и требуется найти его скорость в определённый момент времени движения, либо время, через которое объект приобретёт определённую заданную скорость. Задачи очень простые, решаются  они  в одно действие. Итак:

Пусть задан закон движения материальной точки x (t) вдоль координатной оси, где x координата движущейся точки, t – время.

Скорость в определённый момент времени – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной.

Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: 

Таким образом, физический смысл производной это скорость. Это может быть скорость движения, скорость изменения какого-либо процесса (например роста бактерий), скорость совершения работы (и так далее, прикладных задач множество).

Кроме того, необходимо знать таблицу производных (знать её нужно также, как таблицу умножения) и правила дифференцирования. Если конкретно, то для решения оговоренных задач необходимо знание первых шести производных (см. таблицу):

Рассмотрим задачи:

Материальная точка движется прямолинейно по закону  

x (t) = t² – 7t – 20

где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 5 c.

Физический смысл производной это скорость (скорость движения, скорость изменения процесса, скорость работы и т.д.)

Найдем закон изменения скорости:  v (t) = x′(t) = 2t – 7 м/с.

При t = 5 имеем:

Ответ: 3

Решить самостоятельно:

Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 6t² – 48t + 17, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9 c.

Посмотреть решение

Материальная точка движется прямолинейно по закону  x (t) = 0,5t³ – 3t² + 2t, где x — расстояние от точки отсчета в метрах,  t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6 с.

Посмотреть решение

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x (t) = –t⁴ + 6t³ + 5t + 23

где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3 с.

Посмотреть решение

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x (t) = (1/6) t² + 5t + 28

где x — расстояние от точки отсчета в метрах,  t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?

Найдем закон изменения скорости:

Для того, чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 3 м/с,  необходимо решить уравнение:

Ответ: 3

Решите самостоятельно:

Материальная точка движется прямолинейно по закону  x (t) = t² – 13t + 23, где x — расстояние от точки отсчета в метрах,  t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Посмотреть решение

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x (t) = (1/3) t³ – 3t² – 5t + 3 

где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Посмотреть решение

Отмечу, что ориентироваться только на такой тип задач на ЕГЭ не стоит. Могут совершенно неожиданно ввести задачи обратные представленным. Когда дан закон изменения скорости и будет стоять вопрос о нахождении закона движения.

Подсказка: в этом случае необходимо найти интеграл от функции скорости (это так же задачи в одно действие). Если потребуется найти пройденное расстояние за определённый момент времени, то необходимо подставить время в полученное уравнение и вычислить расстояние. Впрочем, мы такие задачи тоже будем разбирать, не пропустите! Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

09
Авг 2013

Категория: 07 Производная, ПО

07. Физический смысл производной

2013-08-09
2022-09-11

Автор: egeMax |

комментария 2