По мнению выпускников, задание № 11 — самое сложное в первой части ЕГЭ по математике. Ведь там… производная! На деле не стоит бояться — все задания можно решить, зная только 2 алгоритма. В этой статье я о них расскажу! А еще поделюсь полезным лайфхаком, как решать некоторые задания на производную в ЕГЭ, вообще не используя алгоритм и экономя драгоценное время.
Хочешь круто подготовится к ЕГЭ по математике? Тебе поможет учебный центр MAXIMUM! Все наши преподаватели сами сдавали этот экзамен на хороший балл. Мы ежегодно изучаем изменения ФИПИ и корректируем курсы, исходя из этого. Читай подробнее про наши курсы и выбирай подходящий!
Почему задания на производную решает только 40% выпускников?
Ни для кого не секрет, что профильный ЕГЭ по математике состоит из частей с кратким и развёрнутым ответом. В первой части всего 11 заданий. В том числе и интересующее нас задание № 11.
Задание № 11 проверяет, умеют ли выпускники работать с производной. По статистике его решают около 40% всех сдающих экзамен, что для первой части ЕГЭ по математике очень мало.
Проблема этого задания в том, что производную проходят только в середине 11 класса, когда уже активно идет подготовка к ЕГЭ по другим темам. Из-за этого школьники не успевают ее отработать.
Два прототипа задания № 11 ЕГЭ по математике
В этом номере есть всего два типа заданий, которые можно решить с помощью простых алгоритмов. Ученикам нужно лишь запомнить их и выучить таблицу производных.
Сначала необходимо понять, что именно от нас хотят в задании — расскажу небольшой лайфхак. Многие ученики путают понятия «точка максимума / минимума» и «наибольшее / наименьшее значение». Дело в том, что точка экстремума – это x, а наибольшее или наименьшее значение – это у. Как не запутаться? Обрати внимание на слово-маркер «точка». Если ты видишь его, то речь идет об х, если этого слова нет, то речь об у.
Поиск точек экстремума
Теперь, когда мы разобрались, как не запутаться и понять, что необходимо найти в задаче, приступим к разбору самих заданий и алгоритмов к ним. Начнём с поиска точек экстремума. Чтобы провести анализ функции, необходимо определить основные этапы. У функции есть точки экстремума, в них производная равна нулю. Единственный способ, определить, является ли данная точка точкой максимума или минимума – это определить знаки производной до и после неё, если знак производной меняется с «–» на «+», то это будет точка минимума, а если с «+» на «–», то точка максимума. Таким образом общий порядок действий будет следующим:
Данному алгоритму подчиняются абсолютно все задания, в которых нужно найти точки экстремума.
Поиск наибольшего / наименьшего значения функции
Перейдём ко второму прототипу, в котором нужно найти наибольшее/наименьшее значение функции. Интересно, что второй прототип можно отличить даже визуально, потому что кроме самой функции вам будет дан ещё промежуток, ограничивающий функцию в двух точках [a; b]. Так как мы про эти точки ничего не знаем, их придётся дополнительно учитывать. В остальном начало этого алгоритма будет совпадать с предыдущим. Начинать всегда будем именно с точек экстремума, потом проверим, как ведёт себя функция в каждой точке экстремума, а также в начале и конце заданного промежутка, и в итоге запишем в ответ нужное значение функции.
Лайфак, чтобы решать задания на производную в ЕГЭ
Давайте посмотрим на некоторые задания, которые можно решить гораздо быстрее, не прибегая к использованию алгоритмов. Лайфхаки не работают на абсолютно всех заданиях, поэтому будьте аккуратны, применяя их!
Лайфхак, которые мы рассмотрим сегодня, будет опираться на знание формата экзамена. № 11 – задание из части с кратким ответом, ответ на который мы пишем в клеточки на бланке, а чего в этих клеточках не может быть? Очевидно, что бесконечную дробь, буквы 𝑒, ln(…), log(…), 𝜋, sin𝑥, бесконечность и прочие знаки мы не сможем записать, и это очень сильно упрощает нам задачу.
Разбираем лайфхак на примере
Чтобы выполнить данное задание, необходимо знать таблицу производных и немного порассуждать логически. Если мы пойдём по алгоритму, нам придётся брать производную от e в степени (x-9), а производная от данной функции будет равна тому же самому. И получается, что мы никак не можем избавиться от символа, которого просто не может быть в ответе.
Или можем? Есть замечательная степень, которая абсолютно любое основание может превратить в единицу — это 0. Таким образом, мы можем избавиться от е, если представим её степень (х – 9) равной нулю. Получается х – 9 = 0, тогда х = 9.
Но единственный ли это способ избавиться от «е»? На самом деле нет, так как есть ещё один множитель – скобка. Ее можно занулить, тогда занулится и всё произведение. Получим 10 – х = 0, тогда х = 10. Но не стоит забывать, что найти нас просят наименьшее значение ФУНЦИИ, поэтому теперь подставим найденные х в исходную функцию.
При х = 9 получаем 1, а при х = 10 получаем 0. Видим, что значение 0 меньше, чем 1, а значит именно его мы запишем в ответ. Обратите внимание, что оно достигается при х = 10, поэтому критично важно учитывать как степень экспоненты, так и множитель-скобку.
В этой статье мы рассмотрели два алгоритма, с помощью которых можно решить абсолютно любое задание № 11 ЕГЭ по математике. А еще вы узнали лайфхак, как можно выполнить задание на производную в ЕГЭ, не прибегая к использованию алгоритма, и сэкономить время!
- Учите производную
- Пользуйтесь алгоритмами
- Не забывайте про крутые лайфхаки, но будьте внимательны, применяя их!
Если хочешь разобраться в остальных темах по математике и не только, почитай другие статьи в блоге и обрати внимание на наши онлайн-курсы. Уже более 150 тысяч выпускников подготовились с нами к ЕГЭ. Кстати, у меня на курсах MAXIMUM тоже можно поучиться!
ЕГЭ Профиль №6. Применение производной к исследованию функций
Скачать файл в формате pdf.
ЕГЭ Профиль №6. Применение производной к исследованию функций
| Задача 1. На рисунке изображен график функции (y = fleft( x right)), определенной на интервале (left( { — 8;6} right)). Определите количество целых точек, в которых производная функции (fleft( x right)) положительна.
Ответ
ОТВЕТ: 5. |
 |
| Задача 2. На рисунке изображен график функции (y = fleft( x right)), определенной на интервале(left( { — 1;10} right)). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Ответ
ОТВЕТ: 6. |
 |
| Задача 3. На рисунке изображен график функции (y = fleft( x right)), определенной на интервале (left( { — 7;5} right)). Найдите сумму точек экстремума функции (fleft( x right)).
Ответ
ОТВЕТ: 0. |
 |
| Задача 4. На рисунке изображен график (y = f’left( x right)) — производной функции (fleft( x right)), определенной на интервале (left( { — 1;10} right)). В какой точке отрезка (left[ {5;;9} right]) (fleft( x right)) принимает наибольшее значение?
Ответ
ОТВЕТ: 9. |
 |
| Задача 5. На рисунке изображен график (y = f’left( x right)) — производной функции (fleft( x right)), определенной на интервале (left( { — 5;7} right)). В какой точке отрезка (left[ {2;;6} right]) (fleft( x right)) принимает наименьшее значение?
Ответ
ОТВЕТ: 6. |
 |
| Задача 6. На рисунке изображен график (y = f’left( x right)) — производной функции (fleft( x right)), определенной на интервале (left( { — 5;19} right)). Найдите количество точек максимума функции (fleft( x right)), принадлежащих отрезку (left[ { — 3;;15} right]).
Ответ
ОТВЕТ: 1. |
 |
| Задача 7. На рисунке изображен график (y = f’left( x right)) — производной функции (fleft( x right)), определенной на интервале (left( { — 10;7} right)). Найдите количество точек минимума функции (fleft( x right)), принадлежащих отрезку (left[ { — 6;;2} right]).
Ответ
ОТВЕТ: 1. |
 |
| Задача 8. На рисунке изображен график (y = f’left( x right)) — производной функции (fleft( x right)), определенной на интервале (left( { — 11;11} right)). Найдите количество точек экстремума функции (fleft( x right)), принадлежащих отрезку (left[ { — 8;;10} right]).
Ответ
ОТВЕТ: 3. |
 |
| Задача 9. На рисунке изображен график (y = f’left( x right)) — производной функции (fleft( x right)), определенной на интервале (left( { — 6;10} right)). Найдите промежутки возрастания функции (fleft( x right)). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Ответ
ОТВЕТ: 3. |
 |
| Задача 10. На рисунке изображен график (y = f’left( x right)) — производной функции (fleft( x right)), определенной на интервале (left( { — 9;2} right)). Найдите промежутки убывания функции (fleft( x right)). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Ответ
ОТВЕТ: — 22. |
 |
| Задача 11. На рисунке изображен график (y = f’left( x right)) — производной функции (fleft( x right)), определенной на интервале (left( { — 9;9} right)). Найдите промежутки возрастания функции (fleft( x right)). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Ответ
ОТВЕТ: 4. |
 |
| Задача 12. На рисунке изображен график (y = f’left( x right)) — производной функции (fleft( x right)), определенной на интервале (left( { — 14;3} right)). Найдите промежутки убывания функции (fleft( x right)). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Ответ
ОТВЕТ: 3. |
 |
| Задача 13. На рисунке изображен график (y = f’left( x right)) — производной функции (fleft( x right)), определенной на интервале (left( { — 7;5} right)). Найдите точку экстремума функции (fleft( x right)), принадлежащую отрезку (left[ { — 6;,4} right]).
Ответ
ОТВЕТ: — 3. |
 |
| Задача 14. На рисунке изображен график функции (y = fleft( x right)), определенной на интервале (left( { — 1;10} right)). Найдите количество точек, в которых производная функции (fleft( x right)) равна 0.
Ответ
ОТВЕТ: 4. |
 |
| Задача 15. На рисунке изображён график функции (y = fleft( x right)) и восемь точек на оси абсцисс: ({x_1},,{x_2},;{x_3},,…,{x_8}). В скольких из этих точек производная функции (fleft( x right)) положительна?
Ответ
ОТВЕТ: 5. |
 |
| Задача 16. На рисунке изображён график функции (y = fleft( x right)) и двенадцать точек на оси абсцисс: ({x_1},,{x_2},;{x_3},,…,{x_{12}}.) В скольких из этих точек производная функции (fleft( x right)) отрицательна?
Ответ
ОТВЕТ: 7. |
 |
| Задача 17. На рисунке изображён график (y = f’left( x right)) производной функции (fleft( x right)) и восемь точек на оси абсцисс: ({x_1},,{x_2},;{x_3},,…,{x_8}). В скольких из этих точек функция (fleft( x right)) возрастает?
Ответ
ОТВЕТ: 3. |
 |
| Задача 18. На рисунке изображён график (y = f’left( x right)) производной функции (fleft( x right)) и восемь точек на оси абсцисс: ({x_1},,{x_2},;{x_3},,…,{x_8}). В скольких из этих точек функция (fleft( x right)) убывает?
Ответ
ОТВЕТ: 5. |
 |
| Задача 19. На рисунке изображен график функции (y = fleft( x right)) и отмечены точки ( — 2,; — 1,;1,;2). В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Ответ
ОТВЕТ: — 2. |
 |
| Задача 20. На рисунке изображен график функции (y = fleft( x right)) и отмечены точки ( — 2,; — 1,;1,;4). В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Ответ
ОТВЕТ: 4. |
 |
| Задача 21. Функция (y = fleft( x right)) определена и непрерывна на отрезке (left[ { — 5;,5} right]). На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x0, в которой функция принимает наименьшее значение, если (fleft( { — 5} right) geqslant fleft( 5 right)).
Ответ
ОТВЕТ: 3. |
 |
| Задача 22. Функция (y = fleft( x right)) определена на промежутке (left( { — 6;,4} right)). На рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция (y = fleft( x right)) принимает наибольшее значение.
Ответ
ОТВЕТ: — 2. |
 |
- ЕГЭ по математике профиль
Прототипы задания №6 ЕГЭ по математике профильного уровня — производная и первообразная. Практический материал для подготовки к экзамену в 11 классе.
Для успешного выполнения задания №6 необходимо уметь выполнять действия с функциями.
Практика
Примеры заданий:
Коды проверяемых элементов содержания (по кодификатору) — 4.1–4.3
Уровень сложности задания — базовый.
Примерное время выполнения задания выпускником, изучавшим математику на профильном уровне (в мин.) — 4
Связанные страницы:
Открытый банк заданий mathege.ru — тренажер задания 6 профильного ЕГЭ по математике-2022 (с ответами). Все прототипы задания 6 на исследование функций. Это задание на использование свойств производной при анализе функций, либо на геометрический смысл производной, либо на физический смысл производной, либо на первообразную функции. Номер заданий соответствует номеру заданий в базе mathege.ru.
Использование свойств производной для исследования функций
27487 На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
27488. На рисунке изображён график функции y = f(x), определенной на интервале (-5;5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
27490. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
27491. На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-3; 2] функция f(x) принимает наибольшее значение?
27492. На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 4). В какой точке отрезка [-7;-3] функция f(x) принимает наименьшее значение?
27494. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-6;9].
27495. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-13;1].
27496. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [-10;10].
27497. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
27498. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
27499. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
27500. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
27502. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x), принадлежащую отрезку [-2; 6 ].
119971. На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
317539. На рисунке изображён график функции y = f(x) и восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?
317540. На рисунке изображён график функции y = f(x) и двенадцать точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?
317541. На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)?
317542. На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. Сколько из этих точек лежит на промежутках убывания функции f(x)?
Геометрический смысл производной
27485. Прямая y = 7x — 5 параллельна касательной к графику функции y = x2 + 6x — 8. Найдите абсциссу точки касания.
27486. Прямая y = -4x — 11 является касательной к графику функции y = x3 + 7x2 + 7x — 6. Найдите абсциссу точки касания.
27489. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.
27501. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = -2x -11 или совпадает с ней.
27503. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
27504. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
27505. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
27506. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
40130. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y = f(x) параллельна прямой y = 2x — 2 или совпадает с ней.
40131. На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y = f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
119972. Прямая y = 3x +1 является касательной к графику функции ax2 + 2x + 3. Найдите a.
119973. Прямая y = -5x + 8 является касательной к графику функции 28x2 + bx + 15. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
119974. Прямая y = 3x + 4 является касательной к графику функции 3x2 — 3x + c. Найдите c.
317543. На рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
317544. На рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
[s60u_expand more_text=»Ответ» less_text=»Свернуть» height=»1″ hide_less=»no» text_color=»#333333″ link_color=»#0088FF» link_style=»default» link_align=»left» more_icon=»» less_icon=»» class=»»]
4
[/su_expand]
Физический смысл производной
119975. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 6t2 — 48t +17, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9 с.
119976. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 1/2t3 — 3t2 + 2t, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6 с.
119977. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = -t4 + 6t3 + 5t + 23, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3 с.
119978. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 -13t +23, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
119979. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 1/3t3 — 3t2 — 5t + 3, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?
Первообразная
323077. На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (-3;5). Найдите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [-2;4].
323078. На рисунке изображён график функции y = f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) — F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
323079. На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция F(x) = x3 + 30x2 + 302x — 15/8 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
323080. На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция F(x)= -x3 — 27x2 — 240x — 8 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Задания по теме «Производная и первообразная функции»
Открытый банк заданий по теме производная и первообразная функции. Задания B7 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Геометрические фигуры на плоскости: вычисление величин с использованием углов
Геометрические фигуры в пространстве: нахождение длины, площади, объема
Задание №1165
Условие
Прямая y=3x+2 является касательной к графику функции y=-12x^2+bx-10. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания меньше нуля.
Показать решение
Решение
Пусть x_0 — абсцисса точки на графике функции y=-12x^2+bx-10, через которую проходит касательная к этому графику.
Значение производной в точке x_0 равно угловому коэффициенту касательной, то есть y'(x_0)=-24x_0+b=3. С другой стороны, точка касания принадлежит одновременно и графику функции и касательной, то есть -12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. Получаем систему уравнений begin{cases} -24x_0+b=3,\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. end{cases}
Решая эту систему, получим x_0^2=1, значит либо x_0=-1, либо x_0=1. Согласно условию абсцисса точки касания меньше нуля, поэтому x_0=-1, тогда b=3+24x_0=-21.
Ответ
-21
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1164
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Показать решение
Решение
По формуле Ньютона-Лейбница разность F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=9 и x=5. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 4 и 3 и высотой 3.
Её площадь равна frac{4+3}{2}cdot 3=10,5.
Ответ
10,5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1163
Условие
На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-4; 10). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Показать решение
Решение
Как известно, функция f(x) убывает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f'(x) меньше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).
Длина наибольшего из них — (5; 9) равна 4.
Ответ
4
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1162
Условие
На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-6; -2].
.png)
Показать решение
Решение
Из графика видно, что производная f'(x) функции f(x) меняет знак с плюса на минус (именно в таких точках будет максимум) ровно в одной точке (между -5 и -4) из промежутка [-6; -2]. Поэтому на промежутке [-6; -2] ровно одна точка максимума.
Ответ
1
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1161
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8). Определите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Показать решение
Решение
Равенство нулю производной в точке означает, что касательная к графику функции, проведённая в этой точке, параллельна оси Ox. Поэтому находим такие точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На данном графике такими точками являются точки экстремума (точки максимума или минимума). Как видим, точек экстремума 5.
Ответ
5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1160
Условие
Прямая y=-3x+4 параллельна касательной к графику функции y=-x^2+5x-7. Найдите абсциссу точки касания.
Показать решение
Решение
Угловой коэффициент прямой к графику функции y=-x^2+5x-7 в произвольной точке x_0 равен y'(x_0). Но y’=-2x+5, значит, y'(x_0)=-2x_0+5. Угловой коэффициент прямой y=-3x+4, указанной в условии, равен -3. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому находим такое значение x_0, что =-2x_0 +5=-3.
Получаем: x_0 = 4.
Ответ
4
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1159
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки -6, -1, 1, 4 на оси абсцисс. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Показать решение
Решение
Проводим касательные к графику функции в точках с указанными абсциссами. Определяем, под каким углом они наклонены к положительному направлению оси Ox. Как известно, значение тангенса указанного угла это и есть значение производной в указанных точках.
В точках -1 и 4 касательные наклонены под острым углом, поэтому в этих точках значение производной отрицательно. Учитывая, что в точке x=-6 касательная наклонена под меньшим тупым углом (ближе к вертикальной прямой), значение производной в этой точке наименьшее.
Ответ
-6
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1158
Условие
На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-5; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-3; 4].
Показать решение
Решение
Согласно определению первообразной выполняется равенство: F'(x)=f(x). Поэтому уравнение f(x)=0 можно записать в виде F'(x)=0. Так как на рисунке изображён график функции y=F(x), то надо найти те точки промежутка [-3; 4], в которых производная функции F(x) равна нулю. Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 7 (четыре точки минимума и три точки максимума).
Ответ
7
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1157
Условие
На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.
.png)
Показать решение
Решение
По рисунку определяем, что касательная проходит через точки A(-6; 2) и B(-1; 1). Обозначим через C(-6; 1) точку пересечения прямых x=-6 и y=1, а через alpha угол ABC (на рисунке видно, что он острый). Тогда прямая AB образует с положительным направлением оси Ox угол pi -alpha, который является тупым.
Как известно, tg(pi -alpha) и будет значением производной функции f(x) в точке x_0. Заметим, что tg alpha =frac{AC}{CB}=frac{2-1}{-1-(-6)}=frac15. Отсюда по формулам приведения получаем: tg(pi -alpha ) =-tg alpha =-frac15=-0,2.
Ответ
-0,2
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1156
Условие
Прямая y=-2x-4 является касательной к графику функции y=16x^2+bx+12. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше нуля.
Показать решение
Решение
Пусть x_0 — абсцисса точки на графике функции y=16x^2+bx+12, через которую
проходит касательная к этому графику.
Значение производной в точке x_0 равно угловому коэффициенту касательной, то есть y'(x_0)=32x_0+b=-2. С другой стороны, точка касания принадлежит одновременно и графику функции и касательной, то есть 16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. Получаем систему уравнений begin{cases} 32x_0+b=-2,\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. end{cases}
Решая систему, получим x_0^2=1, значит либо x_0=-1, либо x_0=1. Согласно условию абсцисса точки касания больше нуля, поэтому x_0=1, тогда b=-2-32x_0=-34.
Ответ
-34
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Сложно со сдачей ЕГЭ?
Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928
6 задача ЕГЭ – на понимание производной функции. Задание проверяет знание связи между графиком функции и значением ее производной в различных точках, и наоборот – графиком производной и возрастанием/убыванием функции на интервалах и в точках.
Хотя это задание относится к сложному разделу (математический анализ), само по себе оно довольно простое. Решается в одно действие и знать нужно немного — для решения большинства задач хватит информации написанной на этих двух картинках:
Более подробно об этом теме – рассказано в этих видео:
Что такое производная | Наглядное объяснение на графиках
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов
Геометрический смысл производной | Теория + разбор задач ЕГЭ
Задачи, которые были на экзамене за последние 10 лет
2011:
2012:
2013:
2014:
2015:
2016:
2017:
2018:
2019:
2020:
2021:
В открытом банке есть и другие типы заданий (на первообразную, физический смысл производной и условия касания), но в вариантах реальных ЕГЭ я таких задачи не нашла. Хотя это и не значит, что в будущем на ЕГЭ такого никогда не будет, так что лучше разберитесь и в них тоже. Вот примеры таких задач:
Процент выполнения
Сколько процентов пишущих экзамен решили задачу на производные в разные годы:
Сколько процентов из тех, кто решал экзамен в 2021 году, набрал в задаче хотя бы 1 балл:
Какой вывод можно сделать? Шестую задачу решает примерно 6 человек из 10 и это третья задача по потерянным баллам (в первой части). Для меня это несколько удивительно, потому что 6 задача не требует большого количества знаний и решается в одно действие. В чем же может быть причина таких результатов?
Типичные ошибки
1. Перепутать производную и функцию
Многие начинают в этой задаче отвечать так будто перед ними график функции и выбирают точки – (x_1), (x_4), (x_7), (x_8). Хотя правильные точки (x_4), (x_5), (x_6) и ответ (3).
Вот, что авторы ЕГЭ написали в Методических рекомендациях по итогам ЕГЭ об этой задаче: «Выполнение – около 69%. Типичные ошибки связаны в первую очередь с невнимательным чтением условия – почти 24% участников указали количество точек, в которых значение функции положительно, а еще около 2% участников пытались перечислить номера точек, в которых производная принимает положительные значения.»
2. Не ограничить график данным отрезком
Если забыть про отрезок, который указан в конце условия, то в ответ задаче (3). Если не забывать про отрезок, то ответ в задаче (2). Составители ЕГЭ пишут, что около (31)% экзаменуемых делают такую ошибку, а правильный ответ дают лишь (43)%. Поэтому Ященко, Семенов и Высоцкий советуют начинать решение задачи с отмечания данного отрезка в КИМе. Напомню, что вы МОЖЕТЕ рисовать на выданных вам бланках КИМ.
3. Неправильно вычислить тангенс или не учесть убывание/возрастание функции
Чтобы найти производную в точке, нужно вычислить тангенс угла наклона касательной с положительным направлением оси (Ox). На практике задача решается в 2 этапа:
1. Определить убывает касательная или возрастает и соответственно поставить знак минус или плюс.
2. Определить тангенс угла в треугольнике, в котором гипотенуза является частью касательной, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек.
В этой задаче многие, во-первых, забывали про первый пункт, а во-вторых, путались в определении тангенса и вместо (frac{AC}{BC}) считали (frac{BC}{AC}).