Задания на теорию вероятности егэ профильный уровень фипи - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?

Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или выше.

При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

Автор материала — Анна Малкова

На этой странице – решения новых задач из Открытого Банка заданий, из которого формируется Банк заданий ФИПИ. Вы знаете, что в Проекте ЕГЭ-2022 в варианте Профильного ЕГЭ по математике не одна задача на теорию вероятностей, а две, причем вторая – повышенной сложности. Покажем, какие задачи могут вам встретиться на ЕГЭ-2022. Проект пока не утвержден, возможны изменения, но ясно одно – теория вероятностей на ЕГЭ будет на более серьезном уровне, чем раньше. Раздел будет дополняться, так что заходите на наш сайт почаще!

1. Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что во второй раз выпало 3 очка.

Решение:

Выпишем возможные варианты получения 8 очков в сумме:

Подходит только вариант 5; 3. Вероятность этого события равна 1 : 5 = 0,2 (один случай из 5 возможных).

Ответ: 0,2.

2. В ящике 4 красных и 2 синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?

Решение:

Благоприятными будут следующие исходы:

Первый раз – вытащили красный фломастер,

И второй раз – красный,

А третий раз – синий.

Вероятность вытащить красный фломастер (которых в ящике 4) равна $displaystyle frac{4}{6}=frac{2}{3}.$

После этого в ящике остается 5 фломастеров, из них 3 красных, вероятность вытащить красный равна $displaystyle frac{3}{5}.$

Наконец, когда осталось 4 фломастера и из них 2 синих, вероятность вытащить синий равна $displaystyle frac{1}{2}.$

Вероятность события {красный – красный – синий } равна произведению этих вероятностей, то есть $displaystyle frac{2}{3}cdot frac{3}{5}cdot frac{1}{2}=frac{1}{5}=0,2.$

Ответ: 0,2.

3. В коробке 10 синих, 9 красных и 6 зеленых фломастеров. Случайным образом выбирают 2 фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?

Решение:

Всего в коробке 25 фломастеров.
В условии не сказано, какой из фломастеров вытащили первым – красный или синий.

Предположим, что первым вытащили красный фломастер. Вероятность этого $displaystyle frac{9}{25},$ в коробке остается 24 фломастера, и вероятность вытащить вторым синий равна $displaystyle frac{10}{24}.$ Вероятность того, что первым вытащили красный, а вторым синий, равна $displaystyle frac{9}{25} cdot frac{10}{24} = frac{3}{5} cdot frac{1}{4} = frac{3}{20}.$

А если первым вытащили синий фломастер? Вероятность этого события равна $displaystyle frac{10}{25}=frac{2}{5}.$ Вероятность после этого вытащить красный равна $displaystyle frac{9}{24}=frac{3}{8},$ вероятность того, что синий и красный вытащили один за другим, равна $displaystyle frac{2}{5}cdot frac{3}{8} = frac{3}{20}.$

Значит, вероятность вытащить первым красный, вторым синий или первым синий, вторым красный равна $displaystyle frac{3}{20} + frac{3}{20} =0,3.$

А если их доставали из коробки не один за другим, а одновременно? Вероятность остается такой же: 0,3. Потому что она не зависит от того, вытащили мы фломастеры один за другим, или с интервалом в 2 секунды, или с интервалом в 0,5 секунды… или одновременно!
Ответ: 0,3.

4. При подозрение на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86 % случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев.

Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Решение:

Задача похожа на уже знакомую тем, кто готовится к ЕГЭ (про гепатит), однако вопрос здесь другой.
Уточним условие: «Какова вероятность того, что пациент, ПЦР-тест которого положителен, действительно имеет это заболевание?». В такой формулировке множество возможных исходов — это число пациентов с положительным результатом ПЦР-теста, причем только часть из них действительно заболевшие.

Пациент приходит к врачу и делает ПЦР-тест. Он может быть болен этим заболеванием – с вероятностью х. Тогда с вероятностью 1 – х он этим заболеванием не болен.

Анализ пациента может быть положительным по двум причинам:
а) пациент болеет заболеванием, которое нельзя называть, его анализ верен; событие А,
б) пациент не болен этим заболеванием, его анализ ложно-положительный, событие В.
Это несовместные события, и вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий.

Имеем:

Мы составили уравнение, решив которое, найдем вероятность

Что такое вероятность х? Это вероятность того, что пациент, пришедший к доктору, действительно болен. Здесь множество возможных исходов — это количество всех пациентов, пришедших к доктору.

Нам же нужно найти вероятность z того, что пациент, ПЦР-тест которого положителен, действительно имеет это заболевание. Вероятность этого события равна (пациент болен и ПЦР-тест выявил заболевание, произведение событий). С другой стороны, эта вероятность равна (у пациента положительный результат ПЦР-теста, и при выполнении этого условия он действительно болен).

Получим: отсюда z = 0,43.
Ответ: 0,43.

Вероятность того, что пациент с положительным результатом ПЦР-теста действительно болен, меньше половины!
Кстати, это реальная проблема для диагностики в медицине, то есть в задаче отражена вполне жизненная ситуация.

5. Телефон передает sms-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой следующей попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше 2 попыток.

Решение:

Здесь все просто. Либо сообщение удалось передать с первой попытки, либо со второй.
Вероятность того, что сообщение удалось передать с первой попытки, равна 0,4.
С вероятностью 0,6 с первой попытки передать не получилось. Если при этом получилось со второй, то вероятность этого события равна
Значит, вероятность того, что для передачи сообщения потребовалось не более 2 попыток, равна

Ответ: 0,64.

6. Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Решение:

А это более сложная задача. Можно, как и в предыдущих, пользоваться определением вероятности и понятиями суммы и произведения событий. А можно применить формулу Бернулли.

Формула Бернулли:

– Вероятность P_n^m того, что в независимых испытаниях некоторое случайное событие наступит ровно раз, равна:

$P_n^m=C_n^m p^m q^{n-m},$ где:

– вероятность появления события в каждом испытании;
q=1-p – вероятность непоявления события в каждом испытании.

Коэффициент C_n^m часто называют биномиальным коэффициентом.

О том, что это такое, расскажем с следующих статьях на нашем сайте. Чтобы не пропустить – подписывайтесь на нашу рассылку.

А пока скажем просто, как их вычислять.

$displaystyle C_n^m=frac{n!}{m!(n-m)!}$

Нет, это не заклинание. Не нужно громко кричать: Эн!!!! Поделить на эм! И на эн минус эм! 🙂 То, что вы видите в формуле, – это не восклицательные знаки. Это факториалы.
На самом деле все просто: n! (читается: эн факториал) – это произведение натуральных чисел от 1 до n. Например,

Пусть вероятность выпадения орла при одном броске монеты равна $displaystyle frac{1}{2},$ вероятность решки тоже $displaystyle frac{1}{2}.$ Давайте посчитаем вероятность того, что из 10 бросков монеты выпадет ровно 5 орлов.

$displaystyle P_1=C_{10}^5 cdot left ( frac{1}{2} right )^5 cdot left ( frac{1}{2} right )^5 =frac{10!}{5!cdot 5!}cdot frac{1}{2^{10}}.$

Вероятность выпадения ровно 4 орлов равна

$displaystyle P_2=C_{10}^4 cdot left ( frac{1}{2} right )^4 cdot left ( frac{1}{2} right )^6 =frac{10!}{4!cdot 6!}cdot frac{1}{2^{10}}.$

Найдем, во сколько раз P_1 больше, чем P_2.

$displaystyle frac{P_1}{P_2}=frac{10!cdot 4!cdot 6!cdot 2^{10}}{5!cdot 5!cdot 2^{10}cdot 10!}=frac{4!}{5!}=frac{1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 1cdot 2cdot 3 cdot 4cdot 5cdot 6}{1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5 cdot 1cdot 2cdot 3 cdot 4cdot 5}=$

$displaystyle =frac{6}{5}=1,2.$

Ответ: 1,2.

7. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно 5 мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно 4 мишени»?

Решение:

Стрелок поражает мишень с первого или со второго выстрела.

Вероятность поразить мишень равна

Вероятность поразить 5 мишеней из 5 равна

Вероятность поразить 4 мишени из 5 находим по формуле Бернулли:

$displaystyle P_2={C_5}^4 cdot 0,84^4 cdot 0,16 = frac{5!}{4!}cdot 0,84^4 cdot 0,16 = 5cdot 0,84^4 cdot 0,16 ;$

$displaystyle frac{P_1}{P_2}=frac{0,84^5}{5cdot 0,84^4 cdot 0,16} = frac{0,84}{0,8} = 1,05.$

8. В одном ресторане в г. Тамбове администратор предлагает гостям сыграть в «Шеш-беш»: гость бросает одновременно 2 игральные кости. Если он выбросит комбинацию 5 и 6 очков хотя бы один раз из двух попыток, то получит комплимент от ресторана: чашку кофе или десерт бесплатно. Какова вероятность получить комплимент? Результат округлите до сотых.

Решение:

Ресторан «Шеш-Беш» должен сказать составителям задачи спасибо: теперь популярность вырастет во много раз
Заметим, что условие не вполне корректно. Например, я бросаю кости и при первом броске получаю 5 и 6 очков. Надо ли мне бросать второй раз? Могу ли я получить 2 десерта, если дважды выброшу комбинацию из 5 и 6 очков?

Поэтому уточним условие. Если при первом броске получилась комбинация из 5 и 6 очков, то больше кости я не бросаю и забираю свой десерт (или кофе).

Если первый раз не получилось – у меня есть вторая попытка.

Решим задачу с учетом этих условий.

При броске одной игральной кости возможны 6 исходов, при броске 2 костей – 36 исходов. Только два из них благоприятны: это 5; 6 и 6; 5, вероятность каждого из них равна $displaystyle frac{1}{36}.$ Вероятность выбросить 5 и 6 при первом броске равна $displaystyle frac{1}{36} + frac{1}{36}=frac{2}{36}=frac{1}{18}.$

Вероятность того, что с первой попытки не получилось, равна $displaystyle 1- frac{1}{18}=frac{17}{18}.$

Если в первый раз не получилось выбросить 5 и 6, а во второй раз получилось – вероятность этого события равна $displaystyle frac{17}{18}cdot frac{1}{18}.$

Вероятность выбросить 5 и 6 с первой или со второй попытки равна $displaystyle frac{1}{18}+ frac{1}{18} cdot frac{17}{18}= frac{1}{18} cdot frac{35}{18} = frac{35}{324}approx 0,11.$

9. Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 4. Какова вероятность того, что был сделан один бросок? Ответ округлите до сотых.

Решение:

Рассмотрим возможные варианты. Игральную кость могли бросить:
1 раз, выпало 4 очка. Вероятность этого события равна $displaystyle frac{1}{6}$ (1 благоприятный исход из 6 возможных). При этом, если получили 4 очка, кость больше не бросаем.

2 раза, выпало 3 и 1 или 1 и 3 или 2 и 2. При этом, если получили 4 очка, больше не бросаем кость. Для 2 бросков: всего 36 возможны исходов, из них 3 благоприятных, вероятность получить 4 очка равна $displaystyle frac{3}{36}.$

3 раза, выпало 1, 1, 2 или 1, 2, 1 или 2, 1, 1. Если получили 4 очка – больше не бросаем кость. Для 3 бросков: всего возможны исходов, из них 3 благоприятных, вероятность получить 4 очка равна $displaystyle frac{3}{216}.$

4 раза, каждый раз по 1 очку. Вероятность этого события равна $displaystyle frac{1}{6^4}.$

Вероятность получить 4 очка равна

$displaystyle P=frac{1}{6}+frac{3}{6^2}+frac{3}{6^3}+frac{1}{6^4}=frac{1}{6}left ( 1+frac{3}{6}+frac{3}{6^2}+frac{1}{6^3} right )=$

$displaystyle =frac{1}{6}left ( 1+frac{1}{6} right )^3=frac{1}{6}cdot frac{7^3}{6^3}=frac{7^3}{6^4}.$

Воспользуемся формулой условной вероятности.

Пусть P_1 — вероятность получить 4 очка, сделав 1 бросок; $displaystyle P_1=frac{1}{6}$ (для одного броска: 6 возможных исходов, 1 благоприятный);

— вероятность получить 4 очка с одной или нескольких попыток, $displaystyle P=frac{7^3}{6^4};$

P_2 — вероятность, что при этом был сделан только один бросок;

$displaystyle frac{1}{6}=frac{1}{6}cdot frac{7^3}{6^3}cdot P_2;$

$displaystyle P_2=frac{6^3}{7^3}=frac{216}{343}approx 0,63.$

Ответ: 0,63.

10. В викторине участвуют 6 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды.

Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых трех играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет следующий раунд?

Решение:

Пусть силы команд равны 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
В трех раундах участвуют 4 команды, то есть выбирается 4 числа из 6 и среди этих четырех находится наибольшее.
Выпишем в порядке возрастания, какие 4 команды могли участвовать в первых трех раундах:

1234, 1235, 1236, 1245, 1246, 1256, 1345, 1346, 1356, 1456, 2345, 2346, 2356, 2456, 3456 — всего 15 вариантов.

Среди этих 15 групп есть только одна, в которой 4 — наибольшее число. Это группа 1234. Однако, если команда 4 победила команды 1, 2 и 3, то у нее нет шансов выиграть в следующем раунде у команды 5 или 6.

Есть также 4 группы, в которых 5 — наибольшее число. Вероятность того, что команда 5 победила в трех первых раундах, равна $displaystyle frac{4}{15}.$ В следующем туре команда 5 встретится либо с командой 6 (и проиграет), либо с командой 1, 2, 3 или 4 и выиграет, то есть в четвертом раунде команда 5 побеждает с вероятностью $displaystyle frac{1}{2}.$

Есть также 10 групп, где 6 — наибольшее число. Вероятность того, что команда 6 победила в трех первых раундах, равна $displaystyle frac{10}{15}.$ В четвертом туре команда 6 побеждает с вероятностью 1 (она самая сильная). Соответственно, в следующем туре команда 6 побеждает с вероятностью 1.
Получается $displaystyle frac{4}{15} cdot frac{1}{2} + frac{10}{15} cdot 1 = frac{12}{15} = frac{4}{5}$ — вероятность команды, победившей в 3 первых турах, победить в четвертном.

Ответ: $displaystyle frac{4}{5}.$

И наконец, хитроумная задача, совсем не похожая на школьную теорию вероятностей. В математике ее называют «задачей о разорении игрока». Это уже крутейший теорвер! Будем надеяться, что в варианты ЕГЭ ее все-таки включать не будут.

11. Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью р = 0,8 на единицу больше предыдущего и с вероятностью 1 – р меньше предыдущего. Какова вероятность того, что какой-то член этой последовательности окажется равен – 1?

Решение:

Кошмар, что и говорить, и точно не задача из Части 1 ЕГЭ. Будем разбираться.
Вначале мы находимся в точке 0, из нее можем попасть в точку с координатой 1 или в точку с координатой -1. Дальше возможно увеличение или уменьшение координаты на каждом шаге, а найти надо вероятность того, что когда-либо попадем в точку -1.

Обозначим P_1 – вероятность когда-либо попасть в точку -1, если сейчас мы находимся в точке 0,
P_i – вероятность когда-либо попасть в точку -1, если сейчас мы находимся в точке i.

Из точки 0 можно пойти вверх или вниз. Если мы идем вниз (с вероятностью q=1 – р) – мы сразу попадаем в точку -1.

Поскольку из точки 0 можно пойти вверх или вниз, и эти события несовместны, получим:

где P_2 – вероятность попасть когда-нибудь в точку -1, находясь в данный момент в точке 1.
А из точки 1 в точку – 1 можно попасть следующим образом: сначала в точку 0, потом в точку – 1; вероятность каждого из этих событий равна P_1.
Да, это сложно воспринять! Но давайте вернемся к обозначениям: Р1 – вероятность когда-либо попасть в точку -1, если сейчас мы находимся в точке 0. И она точно такая же, как вероятность когда-либо попасть в точку 0, если сейчас мы находимся в точке 1.
Значит, вероятность попадания из точки 1 в точку – 1 равна ${P_1}^2 .$ Мы получаем квадратное уравнение: $P_1 = q +p cdot {P_1}^2 .$

По условию, Тогда $0,8cdot{P_1}^2 - P_1 + 0,2 = 0;$
$4 cdot {P_1}^2 - 5P_1 + 1 = 0.$ Корни этого уравнения: или $displaystyle P_1 = frac{1}{4} = frac{q}{p}.$

Какой из этих корней выбрать? Оказывается, если по условию $displaystyle frac{q}{p} textgreater 1,$ то в ответе получится 1 (всегда попадем в точку -1).
А если, как в нашем случае, $displaystyle frac{q}{p} textless 1,$ то ответ $displaystyle frac{q}{p} ,$ то есть 0,25.
Ответ: 0,25.

А теперь представим себе, что будет, если эту задачи все-таки включат в курс подготовки к ЕГЭ. Учителя будут говорить ученикам: если тебе надо попасть из 0 в точку – 1, вероятность перехода вверх равна р, вероятность перехода вниз равна q, и если то в ответе будет $displaystyle frac{q}{p},$ а если то в ответе будет 1. Бессмысленная зубрежка, короче говоря.

Задачи, разобранные в этой статье, взяты из Открытого Банка заданий ЕГЭ по математике: mathege.ru

Будут ли эти задачи — и особенно последние — на ЕГЭ-2022? Вот официальный ответ ФИПИ:

«Открытость и прозрачность ЕГЭ, наличие открытых банков, дает возможность развивать различные ресурсы, способствующие повышению качества образования.

При этом вся официальная информация, спецификации, демонстрационные варианты, открытые банки, содержатся только на сайте ФИПИ. Типы заданий, которые будут включены в ЕГЭ по математике в 2022 году прошли широкое обсуждение и апробацию в регионах, соответствуют ФГОС.

ФИПИ не комментирует содержание других ресурсов».
Ждем, когда на сайте ФИПИ появятся подборки задач №10 ЕГЭ-2022.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Новые задачи по теории вероятностей из Открытого Банка заданий ЕГЭ, 2021-2022 год» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Сборник задач по теории вероятностей

(с решениями)

Разработка предназначена для учащихся 9–11 классов для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике.

УМК любой

Цель: показать решение типовых задач по данной теме, закрепить умение учащихся решать данные задачи, подготовить учеников к сдаче ОГЭ и ЕГЭ

Методические рекомендации по использованию ресурса: Работу можно применить:

при проведении урока по систематизации и закреплении знаний учащихся
при проведении консультаций.

Источники информации: Открытый банк ЕГЭ ФИПИ http://fipi.ru/

Теория вероятностей

Классическое определение вероятности
Вероятностью события A называется отношение числа благоприятных для A исходов к числу всех равновозможных исходов: Р (А) =
где n — общее число равновозможных исходов, m — число исходов, благоприятствующих событию A.
Противоположные события
Событие, противоположное событию A, обозначают Ā. При проведении испытания всегда происходит ровно одно из двух противоположных событий и
Объединение несовместных событий
Два события A и B называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию A, так и событию B.
Если события A и B несовместны, то вероятность их объединения равна сумме вероятностей событий A и B: P(A U B) =P(A) + P(B)

Пересечение независимых событий
Два события A и B называют независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого события.
Событие C называют пересечением событий A и B (пишут C = A∩B), если событие C означает, что произошли оба события A и B.
Если события A и B независимы, то вероятность их пересечения равна произведению вероятностей событий A и B:
P(A∩B) = P(A) • P(B)

Формула сложения вероятностей совместных событий:

P(A U B) =P(A) + P(B) – P(A∩B)

1. Из 1000 собранных на заводе телевизоров 5 штук бракованных. Эксперт проверяет один наугад выбранный телевизор из этой 1000. Найдите вероятность того, что проверяемый телевизор окажется бракованным.
Решение. При выборе телевизора наугад возможны 1000 исходов, событию A «выбранный телевизор — бракованный» благоприятны 5 исходов. По определению вероятности P(A) = 5÷1000 = 0,005. Ответ: 0,005.

2. В урне 9 красных, 6 жёлтых и 5 зелёных шаров. Из урны наугад достают один шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется жёлтым? Решение. Общее число исходов равно числу шаров: 9 + 6 + 5 = 20. Число исходов, благоприятствующих данному событию, равно 6. Искомая вероятность равна 6÷20 = 0,3. Ответ: 0,3.

3. Петя, Вика, Катя, Игорь, Антон, Полина бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.

Решение. Вероятность события равна отношению количества благоприятных случаев к количеству всех случаев. Благоприятными случаями являются 3 случая, когда игру начинает Петя, Игорь или Антон, а количество всех случаев 6. Поэтому искомое отношение равно 3:6=0,5. Ответ: 0,5.

4. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Решение: Обозначим через А событие «команда России во второй группе». Тогда количество благоприятных событий m = 4 (четыре карточки с номером 2), а общее число равновозможных событий n = 16 (16 карточек) по определению вероятности Р= 4: 16 = 0,25. Ответ:0,25

5. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.

Решение. Всего спортсменов 11 + 6 + 3 = 20 человек. Поэтому вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России равна 9:20 = 0,45. Ответ: 0,45.

6. На каждые 1000 электрических лампочек приходится 5 бракованных. Какова вероятность купить исправную лампочку?

Решение. На каждые 1000 лампочек приходится 5 бракованных, всего их 1005. Вероятность купить исправную лампочку будет равна доле исправных лампочек на каждые 1005 лампочек, то есть 1000:1005=0,995.Ответ: 0,995.

7. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин? 6 : 8=0,75.

8. В чемпионате по футболу участвуют 16 команд, которые жеребьевкой распределяются на 4 группы: A, B, C и D. Какова вероятность того, что команда России не попадает в группу A?

Решение. Каждая команда попадет в группу с вероятностью 0,25. Таким образом, вероятность того, что команда не попадает в группу равна 1-0,25=0,75. Ответ:0,75

9. На турнир по шахматам прибыло 26 участников в том числе Коля и Толя. Для проведения жеребьевки первого тура участников случайным образом разбили на две группы по 13 человек. Найти вероятность того, что Коля и Толя попадут в разные группы. Решение. Всего 26 мест. Пусть Коля займет случайное место в любой группе. Останется 25 мест, из них в другой группе 13. Исходом считаем выбор места для Толи. Благоприятных исходов 13. Р=13/25 = 0,52. Ответ:0,52

10. В классе 16 учащихся, среди них два друга —Вадим и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Сергей окажутся в одной группе. Решение. Если Сергею первому досталось некоторое место, то Олегу остаётся 15 мест. Из них 3 — в той же группе, где Сергей. Искомая вероятность равна 3/15. Ответ:0,2

11. В классе 21 учащийся, среди них два друга — Вадим и Олег. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе. Решение. Пусть один из друзей находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 6 человек из 20 оставшихся учащихся. Вероятность того, что друг окажется среди этих 6 человек, равна 6 : 20 = 0,3. Ответ: 0,3

12. Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16 спортсменов, среди которых 7 участников из России, в том числе Платон Карпов. Найдите вероятность того, что в первом туре Платон Карпов будет играть с каким-либо спортсменом из России? 6:15=0,4. Ответ:0,4.

13. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шашистов, среди которых 3 участника из России, в том числе Василий Лукин. Найдите вероятность того, что в первом туре Василий Лукин будет играть с каким-либо шашистом из России? 2: 25=0,08. Ответ: 0,08.

14. В классе 26 учащихся, среди них два друга — Сергей и Андрей. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Сергей и Андрей окажутся в одной группе. Ответ 12 : 25 = 0,48.

15. В классе 21 ученик, среди них 2 друга – Тоша и Гоша. На уроке физкультуры класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Тоша и Гоша попали в одну группу. Ответ 6 : 20 = 0,3.

16. В классе 21 учащийся, среди них две подруги — Аня и Нина. Класс случайным образом делят на семь групп, по 3 человека в каждой. Найдите вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе. Ответ: 2: 20 = 0,1.

17. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 1. Ответ. 6 : 12= 0,5 ( 6 делений между 12 и 7, всего 12 делений)

18. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 6, но не дойдя до отметки 9 часов. 3:12 = 0,25

При решении задач с монетами число всех возможных исходов можно посчитать по формуле п=2ª, где α –количество бросков

19. В случайном эксперименте симметричную монету бросают 2 раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 1 раз.

Решение. Всего возможны четыре исхода: решка-решка, решка-орёл, орёл-решка, орёл-орёл. Орёл выпадает ровно один раз в двух случаях, поэтому вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз равна 2:4=0,5. Ответ: 0,5.

20. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу. Ответ: 1:4=0,25

21. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу. Решение. 1:8=0,125 Ответ. 0,125

22. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 2 раза. Решение. Составим список возможных вариантов. Бросают 2 раза может выпасть О — Орел, Р — Решка:
ОО, ОР, РО, РР. Всего 4 исхода из них только один случай удовлетворяет условию. Вероятность (P) = 1 / 4 = 0.25. Ответ: 0.25

23. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу. Решение. Всего исходов = 16, благоприятных 1 ( ОООО). 1:16 = 0,0625. Ответ: 0,0625

При решении задач с кубиками число всех возможных исходов можно посчитать по формуле п=6ª, где α –количество бросков

24. Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной кости) выпадет нечетное число очков. Решение. При бросании кубика равновозможных шесть различных исходов. Событию «выпадет нечётное число очков» удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 1, 3 или 5 очков. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет нечётное число очков равна 3:6=0,5. Ответ: 0,5.

25. Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало число очков, не большее 3.

Решение. При бросании кубика равновозможны шесть различных исходов. Событию «выпадет не больше трёх очков» удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 1, 2, или 3 очка. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет не больше трёх очков равна 3:6=0,5 Ответ: 0,5.

26. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, большее 3.

Решение. При бросании кубика 6²= 36 различных исходов. Событию «выпадет больше трёх очков» удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 4, 5, или 6 очков , благоприятных исходов 9 (4,4; 4,5; 4,6; 5,4; 5,5; 5,6; 6,4; 6,5; 6,6.) Ответ: 9: 36 = 0,25.

27. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых. Решение. При бросании кубика 6³= 216 различных исходов, благоприятных 14. 14 : 216 = 0,07. Ответ: 0,07.

28. Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 5.

Решение. Всего трехзначных чисел 900. На пять делится каждое пятое их них, то есть таких чисел 900:5=180. Вероятность того, что Коля выбрал трехзначное число, делящееся на 5, определяется отношением количества трехзначных чисел, делящихся на 5, ко всему количеству трехзначных чисел: 180:900=0,2. Ответ: 0,2.

29.Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 50. Какова вероятность того, что наугад взятый учеником билет имеет однозначный номер?

Решение. Всего было подготовлено 50 билетов. Среди них 9 были однозначными. Таким образом, вероятность того, что наугад взятый учеником билет имеет однозначный номер равна 9:50=0,18. Ответ: 0,18.

30. В мешке содержатся жетоны с номерами от 5 до 54 включительно. Какова вероятность, того, что извлеченный наугад из мешка жетон содержит двузначное число?

Решение. Всего в мешке жетонов — 50. Среди них 45 имеют двузначный номер. Таким образом, вероятность, того, что извлеченный наугад из мешка жетон содержит двузначное число равна 45 : 50 = 0,9. Ответ: 0.9.

31. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на 3? 3 : 10 = 0,3. Ответ: 0,3.

Противоположные события.

32. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,19. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Решение. Вероятность того, что ручка пишет хорошо, равна 1 − 0,19 = 0,81. Ответ: 0,81.

33. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже 36,8°C равна 0,87. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура тела окажется 36,8°C или выше. Ответ. 1-0,87=0,13

34. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

Решение. По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,965 = 0,035. Ответ: 0,035.

Несовместные и независимые события. 35. На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме «Углы», равна 0,1. Вероятность того, что это окажется задача по теме «Параллелограмм», равна 0,6. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем. Решение. Суммарная вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P=0,6+ 0,1 = 0,7. Ответ: 0,7.

36. Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.

Решение. Рассмотрим события A = «учащийся решит 11 задач» и В = «учащийся решит больше 11 задач». Их сумма — событие A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07. Ответ: 0,07.

37. Вероятность того, что на тесте по химии учащийся П. верно решит больше 8 задач, равна 0,48. Вероятность того, что П. верно решит больше 7 задач, равна 0,54. Найдите вероятность того, что П. верно решит ровно 8 задач. Решение. Вероятность решить несколько задач складывается из суммы вероятностей решить каждую из этих задач. Больше 8: решить 9-ю, 10-ю … Больше 7: решить 8-ю, 9-ю, 10-ю …Вероятность решить 8-ю = 0,54-0,48=0,06. Ответ:0.06

38. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет меньше 4? Ответ: 4 : 10 = 0,4.

39. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение. Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0,8, он промахивается с вероятностью 1 − 0,8 = 0,2. Cобытия попасть или промахнуться при каждом выстреле независимы, вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Тем самым, вероятность события «попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся» равна 0,8•0,8•0,8•0,2•0,2=0,02048. Ответ:0.02048.

40. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение. Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения равно произведению вероятностей этих событий: 0,3·0,3 = 0,09. Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,09 = 0,91. Ответ: 0,91.

41. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Решение. Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94. Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий: 0,94·0,94 = 0,8836. Ответ: 0,8836.

42. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение. Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156. Ответ: 0,156.

43. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты равна (0,3)³ = 0,027. Ответ: 0,027.

44. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

Решение. Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 15 пассажиров» и В = «в автобусе от 15 до 19 пассажиров». Их сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B).

Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,94 = 0,56 + P(В), откуда P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38.Ответ: 0,38.

45. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: 0,2 + 0,15 = 0,35.

Ответ: 0,35.

46.Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение. Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», С = «чайник прослужит ровно два года», тогда A + B + С = «чайник прослужит больше года». События A, В и С несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Вероятность события С, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день, час и секунду — равна нулю. Тогда: P(A + B+ С) = P(A) + P(B)+ P(С)= P(A) + P(B)

откуда, используя данные из условия, получаем 0,97 = P(A) + 0,89.Тем самым, для искомой вероятности имеем: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08. Ответ: 0,08.

47. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение. Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х — хорошая, О — отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды: P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128; P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008; P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128.Указанные события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392. Ответ: 0,392.

48. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение. Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,05 · 0,05 = 0,0025. Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,0025 = 0,9975. Ответ: 0,9975.

49. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение. Рассмотрим событиеА = кофе закончится в первом автомате, В = кофе закончится во втором автомате.

Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна 1 − 0,12 = 0,88. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 − х, откуда искомая вероятность х = 0,52. Ответ: 0,9975.

50. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение. Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135. Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01 = 0,0055. Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019. Ответ: 0,019.

51. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение. Джон попадает в муху, если схватит пристрелянный револьвер и попадет из него, или если схватит непристрелянный револьвер и попадает из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,4·0,9 = 0,36 и 0,6·0,2 = 0,12. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,36 + 0,12 = 0,48. Событие, состоящее в том, что Джон промахнется, противоположное. Его вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52. Ответ. 0,52

52. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.

Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение. В силу независимости событий, вероятность успешно сдать экзамены на лингвистику: 0,6·0,8·0,7 = 0,336, вероятность успешно сдать экзамены на коммерцию: 0,6·0,8·0,5 = 0,24, вероятность успешно сдать экзамены и на «Лингвистику», и на «Коммерцию»: 0,6·0,8·0,7·0,5 = 0,168. Успешная сдача экзаменов на «Лингвистику» и на «Коммерцию» — события совместные, поэтому вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Тем самым, поступить на одну из этих специальностей абитуриент может с вероятностью 0,336 + 0,24 − 0,168 = 0,408. Ответ: 0,408.

53. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет- магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар. Решение. Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,1 · 0,2 = 0,02. Ответ: 0,02.

54.Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры. Решение. Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает третью игру. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим: 0,5·0,5·0,5 = 0,125. Ответ: 0,125.

55. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Решение. Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: А) пациент болеет гепатитом, его анализ верен; B) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем: Р(А)=0,9•0.05=0,045; Р(В)= 0,01•0,95=0,0095 ,Р(А+В)=Р(А)(В)=0,045+0,0095=0,0545.

Ответ:0,0545.

56. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение. Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий: A = батарейка действительно неисправна и забракована справедливо или В = батарейка исправна, но по ошибке забракована. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей эти событий. Имеем: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,02•0,99+0,98•0,01=0,0198+0,0098=0,0296 Ответ: 0,0296.

57. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).

Решение. Пусть A — событие, состоящее в том, что мишень поражена стрелком с первого выстрела, B — событие, состоящее в том, что мишень поражена со второго выстрела. Вероятность события A равна P(A) = 0,7. Событие B наступает, если, стреляя первый раз, стрелок промахнулся, а, стреляя второй раз, попал. Это независимые события, их вероятность равна произведению вероятностей этих событий: P(B) = 0,3·0,7 = 0,21. События A и B несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P (A + B) = P(A) + P(B) = 0,7 + 0,21 = 0,91. Ответ: 0,91.

58.Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда А должна сыграть два матча — с командой В и с командой С. Найдите вероятность того, что в обоих матчах первой мячом будет владеть команда А.

Решение. Рассмотрим все возможные исходы жеребьёвки.

· КомандаА в матче в обоих матчах первой владеет мячом.

· КомандаА в матче в обоих матчах не владеет мячом первой.

· КомандаА в матче с командой В владеет мячом первой, а в матче с командой С — второй.

· КомандаА в матче с командой С владеет мячом первой, а в матче с командой В — второй.

Из четырех исходов один является благоприятным, вероятность его наступления равна 1:4=0,25. Ответ: 0,25.

59. Стрелок 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,5. Найдите вероятность того, что стрелок первые 3 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся.

Решение. Вероятность промаха равна 1 − 0,5 = 0,5. Вероятность того, что стрелок первые три раза попал в мишени равна 0,53 = 0,125. Откуда, вероятность события, при котором стрелок сначала три раза попадает в мишени, а четвёртый раз промахивается равна 0,125 · 0,5 = 0,0625. Ответ: 0,0625.

60. Перед началом матча по футболу судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда «Байкал» играет по очереди с командами

«Амур», «Енисей», «Иртыш». Найти вероятность того, что команда «Байкал» будет первой владеть мячом только в игре с «Амуром».

Решение. Монету бросают 3 раза.

Для команды «Байкал» возможные исходы в трех бросках {О О О},{Р О О}, {О Р О}, {О О Р}, {Р Р О},{Р О Р}, {О Р Р},{Р Р Р}. Всего исходов 8, благоприятныx1(выпадение орла в первой игре) {О Р Р, 1:8=0,125.Ответ 0,125.

61.У Пети в кармане лежат шесть монет: четыре монеты по рублю и две монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что теперь две двухрублевые монеты лежат в одном кармане.

Решение. Пронумеруем монеты: рублевые – 1, 2, 3, 4; двухрублевые – 5, 6. {123} {124} {125} {126} {134} {135} {136} {145} {146} {156} {234} {235} {236} {245} {246} {256} {345} {346} {356} {456}

n = 20 – число всех исходов .Взять три монеты можно так: (числа в порядке возрастания,чтобы не пропустить комбинацию) m = 8 – число благоприятных исходов

(комбинации, в которых монеты 5 и 6 (двухрублевые) не взяты или взяты обе. 8:20=0,4

Источник

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Теория вероятностей»

Открытый банк заданий по теме теория вероятностей. Задания B4 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Геометрические фигуры на плоскости: нахождение длины, площади, угла, координат

Задание №1060

Условие

На заводе керамической плитки 5% произведённых плиток имеют дефект. При контроле качества продукции обнаруживается лишь 40% дефектных плиток. Остальные плитки отправляются на продажу. Найдите вероятность того, что выбранная случайным образом при покупке плитка не будет иметь дефектов. Ответ округлите до сотых.

Показать решение

Решение

При контроле качества продукции выявляется 40% дефектных плиток, которые составляют 5% от произведённых плиток, и они не поступают в продажу. Значит, не поступает в продажу 0,4 · 5% = 2% от произведённых плиток. Остальная часть произведённых плиток — 100% − 2% = 98% поступает в продажу.

Не имеет дефектов 100% − 95% произведённых плиток. Вероятность того, что купленная плитка не имеет дефекта, равна 95% : 98% = frac{95}{98}approx 0,97

Ответ

0,97

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1059

Условие

Вероятность того, что аккумулятор не заряжен, равна 0,15. Покупатель в магазине приобретает случайную упаковку, которая содержит два таких аккумулятора. Найдите вероятность того, что оба аккумулятора в этой упаковке окажутся заряжены.

Показать решение

Решение

Вероятность того, что аккумулятор заряжён, равна 1-0,15 = 0,85. Найдём вероятность события «оба аккумулятора заряжены». Обозначим через A и B события «первый аккумулятор заряжён» и «второй аккумулятор заряжён». Получили P(A) = P(B) = 0,85. Событие «оба аккумулятора заряжены» — это пересечение событий A cap B, его вероятность равна P(A cap B) = P(A)cdot P(B) = 0,85cdot 0,85 = 0,7225.

Ответ

0,7225

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1058

Условие

Вероятность того, что новая стиральная машина в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,065. В некотором городе в течение года было продано 1200 стиральных машин, из которых 72 штуки было передано в гарантийную мастерскую. Определите, насколько отличается относительная частота наступления события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Показать решение

Решение

Частота события «стиральная машина в течение года поступит в гарантийный ремонт» равна frac{72}{1200} = 0,06. От вероятности она отличается на 0,065-0,06=0,005.

Ответ

0,005

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1057

Условие

Вероятность того, что ручка бракованная, равна 0,05. Покупатель в магазине приобретает случайную упаковку, которая содержит две ручки. Найдите вероятность того, что обе ручки в этой упаковке окажутся исправными.

Показать решение

Решение

Вероятность того, что ручка исправная, равна 1-0,05 = 0,95. Найдём вероятность события «обе ручки исправны». Обозначим через A и B события «первая ручка исправна» и «вторая ручка исправна». Получили P(A) = P(B) = 0,95. Событие «обе ручки исправны» — это пересечение событий Acap B, его вероятность равна P(Acap B) = P(A)cdot P(B) = 0,95cdot 0,95 = 0,9025.

Ответ

0,9025

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1056

Условие

На рисунке изображён лабиринт. Жук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти в обратном направлении жук не может, поэтому на каждой развилке он выбирает один из путей, в котором еще не был. С какой вероятностью жук придет к выходу Д, если выбор дальнейшего пути является случайным.

Показать решение

Решение

Расставим на перекрёстках стрелки в направлениях, по которым может двигаться жук (см. рис.).

Выберем на каждом из перекрёстков одно направление из двух возможных и будем считать, что при попадании на перекрёсток жук будет двигаться по выбранному нами направлению.

Чтобы жук достиг выхода Д, нужно, чтобы на каждом перекрёстке было выбрано направление, обозначенное сплошной красной линией. Всего выбор направления делается 4 раза, каждый раз независимо от предыдущего выбора. Вероятность того, что каждый раз выбрана сплошная красная стрелка, равна frac12cdotfrac12cdotfrac12cdotfrac12= 0,5^4= 0,0625.

Ответ

0,0625

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1055

Условие

В секции 16 спортсменок, среди них две подруги — Оля и Маша. Спортсменок случайным образом распределяют по 4 равным группам. Найдите вероятность того, что Оля и Маша попадут в одну группу.

Показать решение

Решение

Сформируем группы по 16 : 4 = 4 (человека), последовательно помещая спортсменов на свободные места, при этом начнём с Оли и Маши. Сначала поместим Олю на случайно выбранное место из 16. Теперь помещаем на свободное место Машу (исходом этого эксперимента будем считать выбор места для неё). Всего имеется 15 свободных мест (одно уже заняла Оля), поэтому всего возможны 15 исходов. В одной группе с Олей останется 3 свободных места, поэтому событию «Оля и Маша в одной группе» благоприятствуют 3 исхода. Вероятность этого события равна frac{3}{15}=0,2.

Ответ

0,2

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1054

Условие

В группе туристов 50 человек. Их микроавтобусом в несколько приёмов завозят к отправной точке маршрута по 10 человек за рейс. Порядок перевозки туристов случаен. Найдите вероятность того, что турист П. отправится в первом рейсе микроавтобуса.

Показать решение

Решение

Пусть выбор места в микроавтобусе — исход, выбор места в первом микроавтобусе — благоприятный исход. Общее число исходов равно 50 (общее число мест), благоприятных исходов 10 (число мест на первом рейсе). По определению, вероятность равна frac{10}{50}=0,2.

Ответ

0,2

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1053

Условие

Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «сумма очков равна 7»?

Показать решение

Решение

Исходом будем считать пару чисел: очки при первом и втором броске. Тогда указанному событию благоприятствуют следующие исходы: 1-6, 2-5, 3-4, 4-3, 5-2, 6-1. Их количество равно 6.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1052

Условие

В классе 25 человек. С помощью жребия они выбирают трёх человек, которые должны пойти на митинг. Найдите вероятность того, что обучающийся в этом классе ученик К., пойдёт на митинг.

Показать решение

Решение

Пусть по жребию пойдут на митинг три человека, которые выберут жребии с номерами «1», «2» и «3» из 25 возможных. Пусть исходом будет получение учеником К. определённого номера. Тогда общее число исходов равно 25, благоприятных исходов 3. По определению, вероятность равна frac{3}{25}=0,12.

Ответ

0,12

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1051

Условие

Стоянка освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,4. Найдите вероятность того, что за год хотя бы одна лампа не перегорит.

Показать решение

Решение

Сначала найдём вероятность события «обе лампы перегорели в течение года», противоположного событию из условия задачи. Обозначим через A и B события «первая лампа перегорела в течение года» и «вторая лампа перегорела в течение года». По условию P(A) = P(B) = 0,4. Событие «обе лампы перегорели в течение года» — это A cap B, его вероятность равна P(A cap B) = P(A) cdot P(B) = 0,4 cdot 0,4 = 0,16 (так как события A и B независимы).

Искомая вероятность равна 1 — P(A cap B) = 1 — 0,16 = 0,84.

Ответ

0,84

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Сложно со сдачей ЕГЭ?

Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928

Источник

Все прототипы заданий темы «Вероятности сложных событий», которые могут выпасть на ЕГЭ по математике (профильный уровень). Источники заданий: fipi.ru, mathege.ru.
Условия прототипов взяты у Евгения Пифагора из его видеокурса: «1–11 задания ЕГЭ профиль (первая часть с нуля)».
Содержание видеокурса:
~ 10 часов теоретических видео (про все правила и формулы);
~ 70 часа разборов задач прототипов и ДЗ.

По отзывам покупателей Василий Васильевич оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,93. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,94. Василий Васильевич заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Продолжить чтение Решение №2841 По отзывам покупателей Василий Васильевич оценил надёжность двух интернет-магазинов.

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.

Продолжить чтение Решение №2840 Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней.

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,98. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,83. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.

Продолжить чтение Решение №2810 При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки.

Биатлонист 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Продолжить чтение Решение №2555 Биатлонист 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,25. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,1. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Продолжить чтение Решение №2453 В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе.

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 25% этих стекол, вторая – 75%. Первая фабрика выпускает 5% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Продолжить чтение Решение №2338 Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 25% этих стекол, вторая – 75%.

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Продолжить чтение Решение №2296 На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов.

Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет четных чисел, а нечетные числа встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность, что бросали второй кубик?

Продолжить чтение Решение №2167 Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет четных чисел, а нечетные числа встречаются по два раза.

Источник

Раздел «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» в материалах открытого банка заданий ФИПИ по математике ЕГЭ профильного уровня содержит 403 задачи на 41 странице. В статье выделены несколько типов задач по различным темам курса теории вероятностей и предложены способы их решения. Каждый тип задач сопровождают минимально необходимые теоретические сведения. Формулировки задач скопированы с сайта ФИПИ.

1. Задачи на применение классической формулы вероятности события

Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу: .

Задача 1.1. В чемпионате по гимнастике участвуют 70 спортсменок: 25 из США, 17 из Мексики, остальные из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.

Решение. Число благоприятных исходов – это и есть число канадских спортсменок. Их 70-(25+17) =28. Общее число исходов – 70, это количество спортсменок, участвующих в чемпионате. Итак, искомая вероятность равна 28/70 = 0,4.

Ответ: 0,4.

Замечание: решительно всё равно, какой по счёту, первой, как в условии задачи, или второй, третьей, …, семидесятой будет выступать канадская спортсменка. Искомая вероятность зависит только от количества канадских гимнасток и общего количества участниц.

Задача 1.2. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 теннисистов, среди которых 7 спортсменов из России, в том числе Анатолий Москвин. Найдите вероятность того, что в первом туре Анатолий Москвин будет играть с каким-либо теннисистом из России.

Решение. Для выбранного уже по условию задачи россиянина Анатолия Москвина благоприятных исходов (его партнёр — российский теннисист) остаётся всего 6. Уменьшается на единицу и общее число всех равновозможных исходов – число спортсменов, готовых сражаться с Москвиным, их – 75. Значит, искомая вероятность равна 6/75 = 0,008.

Ответ: 0,08.

Задача 1.3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.

Решение. Перечислим все возможные исходы (их 4) при двух бросаниях монеты:

N исходов	Первое бросание	Второе бросание
	Решка	Решка
	Орёл	Орёл
	Орёл	Решка
	Решка	Орёл

Видно из таблицы, что интересующему нас событию (ровно одному появлению решки) благоприятствуют исходы с номерами 3 и 4. Их два, а возможных исходов в нашем случае – 4. Стало быть, искомая вероятность равна 2/4 = 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 1.4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет оба раза.

Решение. Благоприятному событию (А) — орёл выпадет оба раза благоприятствует один исход – номер 2 (см. задачу 1.3). Таким образом, Р(А) = 1/4 = 0,25.

Ответ: 0,25.

Задача 1.5. На олимпиаде по русскому языку 350 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 140 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Решение. Найдём количество человек, писавших олимпиаду в запасной аудитории: 350-(140+140) =70. Значит, искомая вероятность равна 70/350 =0,2

Ответ: 0,2.

Задача 1.6. В группе туристов 300 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 15 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист В. полетит первым рейсом вертолёта.

Решение. Способ 1. Интересующее нас событие – «турист В. полетит первым рейсом вертолёта» означает, что он попадает в число15 человек, вылетающих первым рейсом, поэтому искомая вероятность есть 15/300 = 0,05.

Способ 2. Всего рейсов 300/15 = 20. Туристу В, согласно условию задачи, подходит только один из них, значит, вероятность определяется отношением 1/20 = 0,05.

Ответ: 0,05.

Задача 1.7. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится 3 сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение. Качественных сумок 100, а общее число сумок 100+3=103. Значит, вероятность вычисляется как отношение 100/103 ≈ 0,971 ≈ 0,97.

Ответ: 0,97.

Задача 1.8. В школе 51 пятиклассник, среди них — Саша и Настя. Всех пятиклассников случайным образом делят на три группы, по 17 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Саша и Настя окажутся в одной группе.

Решение. Предполагаем, что Саша уже попал в одну из трёх групп, безразлично, какую. Для Насти, таким образом, число мест в Сашиной группе сократилось до 16, т.к. место занято Сашей. Заметим, что на единицу уменьшилось и общее число участников распределения по группам, т.к. из их числа уже исключён Саша. Таким образом, вероятность того, что Саша и Настя окажутся в одной группе, равна 16/50 = 0,32.

Ответ: 0,32.

Задача 1.9. В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

Решение. При бросании двух игральных костей возможны 36 исходов испытания, т.к. любой исход испытания при бросании первой кости (1, 2, 3, 4, 5, 6) может сочетаться с любым из шести исходов (1, 2, 3, 4, 5, 6) при бросании второй кости. Интересующему нас событию — в сумме выпадет 7 очков благоприятны исходы: 1 и 6, 6 и 1, 5 и 2, 2 и 5, 4 и 3, 3 и 4. Их всего – 6. Значит, искомая вероятность 6/36 = 0,1(6) ≈ 0,17.

Ответ: 0,17.

Задача 1.10. В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 9 очков. Результат округлите до сотых.

Решение. Как и в предыдущей задаче, общее число всех равновозможных исходов – 36. Благоприятными исходами будут: 6 и 3, 3 и 6, 4 и 5, 5 и 4. Их всего четыре. Вычисляем вероятность: 4/36 = 0,(1) ≈0,11.

Ответ: 0,11.

Задача 1.11. В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 11 очков. Результат округлите до сотых.

Решение. Всех равновозможных исходов – 36. Благоприятные: 5 и 6, 6 и 5. Их два, и поэтому вероятность равна 2/36 = 1/18 ≈ 0,06.

Ответ: 0,06.

Задача 1.12. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Сапфир» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Сапфир» начнёт игру с мячом не более одного раза.

Решение. Составим таблицу, в которой символ «+» обозначит тот факт, что команда Сапфир начинает игру, а символ будет означать, что игру начинает другая команда (соперник Сапфира):

№ исходов	I команда	II команда	III команда
1	+	+	+
2	+	+	—
3	+	—	+
4	—	+	+
5	—	—	+
6	—	+	—
7	+	—	—
8	—	—	—

Очевидно, что интересующему нас событию А — в этих матчах команда «Сапфир» начнёт игру с мячом не более одного раза, благоприятствуют исходы с номерами 5, 6, 7, 8. Всего исходов – 8, значит, вероятность равна 4/8 = 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 1.13. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Биолог» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Биолог» начнёт игру с мячом все три раза.

Решение. Таблица исходов приведена в предыдущей задаче. Событию А — в этих матчах команда «Биолог» начнёт игру с мячом все три раза, благоприятствует исход с номером 1 (он – единственный). Таким образом, искомая вероятность вычисляется как отношение 1/8 = 0,125.

Ответ: 0,125.

Задача 1.14. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 1.

Решение. При рассмотрении подобных задач на геометрическую вероятность полезно иметь ввиду, что один час на двенадцатичасовом циферблате занимает сектор 360^o/12 = 30^o. От 7 до 1 проходит 6 часов, часовая стрелка преодолевает 30^o × 6 = 180^o, таким образом, искомая вероятность вычисляется как 180/360 = 0,5.

С другой стороны, посмотрев на 12-часовой циферблат, можем видеть, что промежуток от 7 часов до 1 часа занимает ровно половину циферблата, значит, вероятность равна 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 1.15. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что решка выпадет все три раза.

Решение. Все возможные исходы (их при трёх бросаниях представлены в таблице:

№ исхода	1-е бросание	2-е бросание	3-e бросание
1	Орёл	Орёл	Орёл
2	Орёл	Решка	Решка
3	Решка	Орёл	Решка
4	Решка	Решка	Орёл
5	Орёл	Орёл	Решка
6	Решка	Орёл	Орёл
7	Орёл	Решка	Орёл
8	Решка	Решка	Решка

Благоприятный исход один – последний: Решка-Решка-Решка. Вероятность, согласно классической формуле, равна 1/8 = 0,125.

Ответ: 0,125.

Задача 1.16. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Решение. Можно составить таблицу и для четырёх бросаний симметричной монеты:

№ исхода	1-е бросание	2-е бросание	3-e бросание	4-e бросание
1	Решка	Решка	Решка	Решка
2	Решка	Решка	Решка	Орёл
3	Орёл	Решка	Решка	Решка
4	Решка	Орёл	Решка	Решка
5	Решка	Решка	Орёл	Решка
6	Решка	Решка	Орёл	Орёл
7	Орёл	Орёл	Решка	Решка
8	Орёл	Решка	Решка	Орёл
9	Решка	Орёл	Орёл	Решка
10	Решка	Орёл	Решка	Орёл
11	Орёл	Решка	Орёл	Решка
12	Решка	Орёл	Орёл	Орёл
13	Орёл	Решка	Орёл	Орёл
14	Орёл	Орёл	Решка	Орёл
15	Орёл	Орёл	Орёл	Решка
16	Орёл	Орёл	Орёл	Орёл

Число исходов равно 16. Благоприятные исходы в таблице имеют номера: 6,7,8,9,10,11. Их всего 6. Значит, вероятность равна 6/16 = 3/8 = 0.375.

Если взять на себя труд и выучить теорему Я.Бернулли, то составления таблицы можно избежать.

Теорема: Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность P_n(k) того, что в серии n однородных независимых испытаний событие А наступит ровно k раз, равна:

(1).

Здесь – число сочетаний из n элементов по k в каждом, q – вероятность события, противоположного событию А.

В условиях нашей задачи p = 1/2, q = 1 — 1/2 = 1/2,

Подставляем в формулу (1) и получаем :

Ответ: 0,375.

2. Задачи на нахождение вероятности противоположного события

3. Задачи на применение теоремы сложения вероятностей для несовместных событий

4. Задачи на применение теоремы умножения вероятностей независимых событий

Источник

Подборка сложных задач с ответами из открытого банка ФИПИ задание №10 теория вероятностей ЕГЭ 2022 математика 11 класс профильный уровень.

Скачать задачи из ФИПИ

Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 с ответами

Задание 10 теория вероятностей ЕГЭ 2022 профиль ФИПИ

задание10_егэ2022_профиль_математика_фипи

Задания и ответы с ФИПИ

1)Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,6. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,45. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Ответ: 0,27

2)Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Ответ: 0,15

3)Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,5 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше 0,7?

Ответ: 2

4)Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,5 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше 0,8?

Ответ: 3

5)Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.

Ответ: 0,0009

6)Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.

Ответ: 0,0064

7)Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,06. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Ответ: 0,069

8)Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка
неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества.
Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того,
что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того,
что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Ответ: 0,059

9)В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,03. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.

Ответ: 0,83

10)В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах равна 0,05. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Ответ: 0,85

11)В коробке 11 синих, 6 красных и 8 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

Ответ: 0,22

12)В коробке 12 синих, 6 красных и 7 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

Ответ: 0,24

13)Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,8. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Ответ: 0,488

14)Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,9. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Ответ: 0,271

15)Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.

Ответ: 0,33

16)Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,2.

Ответ: 0,28

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ

Источник