Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9.
а) докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам
б) пусть Р — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : РN.
Источник: ЕГЭ по математике 19.06.2014. Основная волна, резервная волна. Запад. Вариант 1
2
Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°.
а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE.
б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 40 и CE = 24.
3
Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 12.
4
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB.
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояние от точки M до центров квадратов, если AC = 10, BC = 32 и ∠ACB = 30°.
Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
5
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE.
а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус этой окружности, если AB = 12, CH = 5.
Пройти тестирование по этим заданиям
Всё варианты 16 задания математика ЕГЭ Профиль 2022
Скачать задания в формате pdf.
Задания 13 ЕГЭ по математике профильного уровня 2022 год (планиметрия)
1) (28.03.2022 досрочная волна) В треугольник АВС вписана окружность, которая касается АВ в точке Р. Точка М – середина стороны АВ.
а) Докажите, что (MP = frac{{left| {,BC — AC,} right|}}{2}.)
б) Найдите углы треугольника АВС, если известно, что длина отрезка МР равна половине радиуса вписанной в треугольник АВС окружности, BC > AC, а отрезки МС и МА равны.
ОТВЕТ: (angle C = {90^ circ };,,angle A = arctgfrac{4}{3};,,angle B = arctgfrac{3}{4}.)
2) (28.03.2022 досрочная волна) Дана равнобедренная трапеция ABCD. На боковой стороне AB и большем основании AD взяты соответственно точки F и E так, что FE параллельно CD, а FC = ED.
а) Докажите, что (angle BCF = ,angle AFE;)
б) Найдите площадь трапеции ABCD, если ED = 3 BF, FE = 5 и площадь трапеции FCDE равна (14sqrt {35} .)
ОТВЕТ: (frac{{73sqrt {35} }}{4}.)
3) (28.03.2022 досрочная волна) На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки M и N так, что АМ : МВ = CN : NB = 1 : 2. Прямая MN касается окружности, вписанной в треугольник ABC в точке L.
a) Докажите, что AB+ BC= 5 AC.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если ML = 1 и LN = 3.
ОТВЕТ: (frac{{3sqrt 2 }}{2}.)
4) (02.06.2022 основная волна) В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE = CE.
а) Докажите, что (AL cdot BC = AB cdot AC;)
б) Найдите EL, если AC = 12, (tgangle BCA = frac{1}{4}.)
5) (02.06.2022 основная волна) На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что АМ = МС.
а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC.
б) Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если АВ = 7, ВС = 21, а (angle DAB = ,{60^ circ }.)
ОТВЕТ: (frac{{sqrt 3 left( {34 — sqrt {127} } right)}}{{14}}.)
6) (02.06.2022 основная волна) На стороне острого угла с вершиной A отмечена точка B. Из точки B на биссектрису и другую сторону угла опущены перпендикуляры BC и BD соответственно.
а) Докажите, что (A{C^2} + C{D^2} = A{D^2} + D{B^2}.)
б) Прямые AC и BD пересекаются в точке T. Найдите отношение AT : TC, если (cos angle ,ABC = frac{3}{8}.)
7) (02.06.2022 основная волна) В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты АА1, ВВ1 и СС1, которые пересекаются в точке H. Через точку С1 провели прямую, параллельную ВВ1. Данная прямая пересекает АА1 в точке К.
а) Докажите, что (AB cdot HK = {C_1}H cdot BC.)
б) Найдите отношение площадей треугольников АВС и C1HK, если известно, что АВ = 5, ВС = 6,
(AC = sqrt {31} .)
(02.06.2022 основная волна) Биссектриса BB1 и высота CC1 треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках М и N. Известно, что (angle BCA = ,{85^ circ }) и (angle ABC = ,{40^ circ }.)
а) Докажите, что CN = BМ.
б) Пусть MN и ВС пересекаются в точке D. Найти площадь треугольника BDN, если его высота ВН равна 7.
9) (02.06.2022 основная волна) В квадрате ABCD точки M и N – середины сторон АВ и ВС, соответственно. Отрезки СМ и DN пересекаются в точке К.
а) Докажите, что (angle BKM = ,{45^ circ }.)
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВК, если (AB = ,2sqrt {20} .)
ОТВЕТ: (frac{{10sqrt 2 }}{3}.)
10) (02.06.2022 основная волна) В треугольнике ABC на стороне BC отметили точку D так, что AB = BD. Биссектриса BF пересекает AD в точке E. Из точки C на прямую AD опущен перпендикуляр CK.
a) Докажите, что АВ: ВС= АЕ : ЕК.
б) Найдите отношение площади треугольника ABE к площади четырёхугольника CDEF, если известно, что BD : DC = 3 : 2.
11) (02.06.2022 основная волна) В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Известно, что около четырехугольника AMNC можно описать окружность.
а) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.
б) На стороне AС отмечена точка F, такая что (angle AFB = ,{135^ circ }.) Отрезок BF пересекает отрезок MN в точке E. Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника AMNC, если (angle ABC = ,{120^ circ }) и (EF = 6sqrt 2 .)
12) (27.06.2022 резервная волна) Точка D лежит на основании AC равнобедренного треугольника ABC. Точки I и J — центры окружностей, описанных около треугольников ABD и CBD соответственно.
а) Докажите, что прямые BI и DJ параллельны.
б) Найдите IJ, если AC = 16, (cos angle BDC = ,frac{1}{9}.)
ОТВЕТ: (frac{{18sqrt 5 }}{5}.)
13) (27.06.2022 резервная волна) Две окружности пересекаются в точках А и В. Общая касательная к этим окружностям касается их с точках С и D. Прямая АВ пересекает отрезок CD в точке М, центры окружностей лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АВ, точка В лежит между точками А и М.
а) Докажите, что CM = MD.
б) Найдите расстояние между центрами данных окружностей, если их радиусы равны 1 и 3 соответственно, а точка В является серединой отрезка АМ.
ОТВЕТ: (frac{{8sqrt 2 }}{3}.)
14) (27.06.2022 резервная волна) В трапеции ABCD с основанием AD диагонали пересекаются в точке O, AD = 2 BC. Через вершину A проведена прямая параллельная диагонали BD, а через вершину D проведена прямая параллельная диагонали AC, и эти прямые пересекаются в точке E.
а) Докажите, что BO : AE = 1 : 2.
б) Прямые BE и CE пересекают сторону AD в точках M и N соответственно. Найдите MN, если AD = 10.
Планиметрия
Подобие треугольников
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.
Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)
- Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
- Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Признаки подобия треугольников:
- Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
- Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между ними равны, то такие треугольники подобны.
- Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Площади фигур
Площадь треугольника
- $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$
- $S={a·b·sinα}/{2}$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
- Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ — это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$
- $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности
- $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ — радиус описанной окружности
- Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
- Для равностороннего треугольника $S={a^2 √3}/{4}$, где $а$ — длина стороны.
Площади четырехугольников
Прямоугольник
$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.
Ромб
$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба
$S=a^2·sinα$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.
Трапеция
$S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.
Квадрат
$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.
Параллелограмм
$S=a·b·sinα$, где $а$ и $b$ — длины сторон параллелограмма, а $α$ — угол между этими сторонами.
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:
Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.
$CD^2=DB·AD$
В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.
$CB^2=AB·DB$
$AC^2=AB·AD$
Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.
$AC·CB=AB·CD$
Метрические соотношения в окружности
1. Две касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны, и центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними.
2. Если хорды $АС$ и $BD$ пересекаются в некоторой точке $N$, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
$AN·NC=BN·ND$
Пример:
Хорды $АВ$ и $CD$ пересекаются в точке $Е$. Найдите $ЕD$, если $АЕ=16, ВЕ=9, СЕ=ED$.
Решение:
Если хорды $АВ$ и $СD$ пересекаются в некоторой точке $Е$, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
$AЕ·ЕВ=СЕ·ЕD$
Так как $СЕ=ED$, данное выражение можно записать в виде:
$ЕD^2=AЕ·ЕВ$
Подставим числовые значения
$ЕD^2=16·9$
$ЕD=√{16·9}=4·3=12$
Ответ: $12$
3. Если из одной точки к одной окружности проведены две секущие, то произведение первой секущей на ее внешнюю часть равно произведению второй секущей на свою внешнюю часть.
$АС·ВС=EC·DC$
4. Если из одной точки к окружности проведены секущая и касательная, то произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату длины касательной.
$BD·СB=AB^2$
Вписанные и описанные окружности для четырехугольников.
1. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
$АВ+CD=BC+AD$
2. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180°$, то только тогда около него можно описать окружность.
$∠В+∠D=180°$
$∠A+∠C=180°$
Вневписанные окружности
Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других.
Для каждого треугольника существует три вневписанных окружности, которые расположены вне треугольника, центрами вневписанных окружностей являются точки пересечения биссектрис внешних углов треугольника.
Точки $О_1, О_2$ и $О_3$ – центры вневписанных окружностей.
Связь площади треугольника с радиусами вневписанных окружностей.
Введем обозначения:
$S$ — площадь треугольника;
$p$ — полупериметр треугольника;
$a, b, c$ — стороны треугольника;
$r_a, r_b, r_c$ — радиусы вневписанных окружностей касающиеся соответственно сторон $a, b$ и $c$;
Для данных обозначений справедливы равенства:
$r_a={S}/{p-a};$
$r_b={S}/{p-b};$
$r_c={S}/{p-c}.$
Пример:
В прямоугольном треугольнике $АВС$ угол $С=90°, АС=6, ВС=8$. Найдите радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы.
Решение:
Радиус вневписанной окружности, касающейся стороны $АВ$ равен:
$r_{АВ}={S}/{p-АВ}$, где $S$ — площадь треугольника, $р$ — полупериметр треугольника.
Чтобы подставить в формулу данные, найдем сначала площадь треугольника и его полупериметр.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
$S={АС·АВ}/{2}={6·8}/{2}=24$
Нам неизвестна гипотенуза, найдем ее по теореме Пифагора:
$АВ=√{АС^2+СВ^2}=√{6^2+8^2}=√{100}=10$
Зная все стороны, вычислим полупериметр:
$р={6+8+10}/{2}=12$
Теперь можем все данные подставить в формулу нахождения радиуса вневписанной окружности:
$r_{АВ}={S}/{p-АВ}={24}/{12-10}={24}/{2}=12$
Ответ: $12$
Биссектриса
Биссектриса – это линия, которая делит угол пополам.
Свойства биссектрисы:
1. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.
2. Если точка лежит на биссектрисе, то расстояния от неё до сторон угла равны.
$AD=DC$
3. Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.
4. Биссектриса угла в параллелограмме отсекает равнобедренный треугольник.
5. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
6. В треугольнике биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, отношение которых такое же, как отношение сторон треугольника, между которыми эта биссектриса прошла.
${AB}/{AC}={BA_1}/{A_1C}$
7. Для нахождения длины биссектрисы справедлива формула:
$АА_1=√{АВ·АС-ВА_1·А_1 С}$
Медиана
Медиана — это линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.
Свойства медиан:
1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. на два треугольника, у которых площади равны.
$S_1=S_2$
2. Медианы пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении два к одному, считая от вершины.
3. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы и радиусу описанной около этого треугольника окружности.
4. Для нахождения длины медианы, проведенной к стороне «с», справедлива формула:
$М_с={√{2(а^2+b^2)-c^2}}/{2}$
Высота
Высота в треугольнике — это линия, проведенная из вершины треугольника к противоположной стороне под углом в 90 градусов.
$BB_1$ — высота
Свойства высот:
1. Три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
2. При пересечении двух высот получаются подобные треугольники:
$∆АА_1 В~∆СС_1В;$
$∆АС_1 М~∆СМА1$
3. Угол между высотами в остроугольном треугольнике равен углу между сторонами, к которым эти высоты проведены.
4. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:
$h_a:h_b:h_c={1}/{a}:{1}/{b}:{1}/{c}$
Теорема синусов
Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:
${a}/{sinα}={b}/{sinβ} ={c}/{sinγ} =2R$, где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.
Пример:
В треугольнике $АВС ВС=16, sin∠A={4}/{5}$. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника $АВС$.
Решение:
Воспользуемся теоремой синусов:
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности
${ВС}/{sinA} =2R$
Далее подставим числовые данные и найдем $R$
${16·5}/{4}=2R$
$R={16·5}/{4·2}=10$
Ответ: $10$
Теорема косинусов
Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
$a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosα.$
Новое 16 задание ЕГЭ 2022 по математике профильный уровень (планиметрия), треугольники и окружности, более 100 заданий, а также задачи с реального ЕГЭ по математике. Практикуемся и готовимся к экзамену!
- Треугольник и его элементы
- Многоугольники
- Отношение отрезков и площадей
- Окружности
- Окружности связанные с треугольником
- Окружности связанные с четырёхугольником
Треугольник и его элементы задачи ЕГЭ 2022 с ответами:
Задачи уровня А являются подготовительными для решения заданий 16 профильного ЕГЭ по теме «Треугольник и его элементы». Большая часть задач уровня В взята из реальных экзаменационных и диагностических работ прошлых лет.
Многоугольники задачи ЕГЭ 2022 с ответами:
Отношение отрезков и площадей задачи ЕГЭ 2022 с ответами:
Многие задачи этого раздела будут решаться с помощью теоремы о пропорциональных отрезках (обобщенной теоремы Фалеса), либо с помощью дополнительных построений, которые приводят к нескольким парам подобных треугольников. Рассмотрим примеры на эти дополнительные построения.
Окружности задачи ЕГЭ 2022 с ответами:
Окружности связанные с треугольником задачи ЕГЭ 2022 с ответами:
Окружности связанные с четырёхугольником задачи ЕГЭ 2022 с ответами:
1)В треугольнике ABC угол ABC тупой, H — точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60 . а) Докажите, что угол ABC равен 120 . б) Найдите BH, если AB 7, BC 8.
2)На сторонах AC и BC треугольника ABC вне его построены квадраты ACDE и CBFG. Точка M — середина стороны AB. а) Докажите, что точка M равноудалена от центров квадратов. б) Найдите площадь треугольника DMG, если AC 6, BC 8, AB 10.
3)В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC, а точка N лежит на продолжении катета BC за точку C, причём СM = BC и CN = AC. Отрезки CP и CQ — биссектрисы треугольников ACB и NCM соответственно. а) Докажите, что CP и СQ перпендикулярны. б) Найдите PQ, если BC 3, а AC 5.
4)Дана трапеция ABCD. Биссектриса угла BAD пересекает продолжение основания BC в точке K. а) Докажите, что треугольник ABK равнобедренный. б) Найдите биссектрису BM треугольника ABK, если AD = 10, BC = 2, AB = CD = 5.
5)Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. а) Докажите, что треугольники AMB, AMC и BMC равновелики. б) Известно, что треугольник ABC прямоугольный, а точка M удалена от катетов на расстояния 3 и 4. Найдите расстояние от этой точки до гипотенузы.
6)Дан треугольник ABC со сторонами AB = 4, BC = 6 и AC =8. а) Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна стороне BC. б) Найдите длину биссектрисы треугольника ABC, проведённой из вершины A.
7)В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD, равны 0,6 и 0,8. а) Докажите подобие треугольников ACD и BCD. б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
8)В равнобедренном треугольнике ABC AC — основание. На продолжении стороны CB за точку В отмечена точка D так, что угол CAD равен углу ABD. а) Докажите, что AB биссектриса угла CAD. б) Найдите длину отрезка AD, если боковая сторона треугольника АВС равна 5, а его основание равно 6.
9)На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно, причем AC1 : C1B = 7 : 12, BA1 : A1C = 3 : 1, AB1 : B1C = 3 : 4. Отрезки BB1 и CC1 пересекаются в точке D. а) Докажите, что четырехугольник ADA1B1 – параллелограмм. б) Найдите CD, если отрезки AD и BC перпендикулярны, AC = 21, BC = 16.
10)Диагональ параллелограмма делит его угол на части в 30° и 45°. Найдите отношение сторон параллелограмма.
11)Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Биссектрисы углов A и B пересекают прямую CD в точках M и N, причём MN = 12. Найдите стороны параллелограмма.
12)Найдите расстояние от центра ромба до его стороны, если острый угол ромба равен 30°, а сторона равна 4.
13)В прямоугольнике ABCD АВ = 60, ВС = 45. Сторона DC разделена на три равные части точками Е и F. Отрезки прямых, соединяющие вершины А и В с точками Е и F соответственно, продолжены до пересечения в точке М, лежащей вне прямоугольника. Найдите площадь треугольника EFM.
14)В прямоугольнике проведены биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне. Определите, на какие части делится площадь прямоугольника этими биссектрисами, если стороны прямоугольника равны 2 и 4.
15)Найдите высоту равнобедренной трапеции, если ее диагональ перпендикулярна боковой стороне, а разность квадратов оснований равна 25.
16)Дана равнобедренная трапеция, средняя линия которой равна 9, площадь равна 54 и диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите основания трапеции.
17)Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 3, а большая образует угол 30° с одним из оснований. Найдите это основание, если на нѐм лежит точка пересечения биссектрис углов при другом основании.
18)Известно, что высота трапеции равна 15, а еѐ диагонали равны 17 и 113. Найдите площадь трапеции.
19)В трапеции длина средней линии равна 4, а углы при одном из оснований равны 40 и 50. Найдите длины оснований трапеции, если длина отрезка, соединяющего середины этих оснований, равна 1.
20)Средняя линия трапеции, равная 10, делит площадь трапеции в отношении 3 : 5. Найдите длины оснований трапеции.
21)Найдите диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12, если известно, что центр еѐ описанной окружности лежит на большем основании.
22)Трапеция ABCD разделена прямой, параллельной еѐ основаниям AD и BC, на две равновеликие трапеции. Найдите отрезок этой прямой, заключѐнный между боковыми сторонами, если основания трапеции равны 6 и 8.
23)Высота CD треугольника ABC делит медиану BM в отношении 3 : 1, считая от вершины В. В каком отношении CD делит сторону АВ, считая от вершины А?
24)М и Р – середины смежных сторон AD и DC параллелограмма ABCD. MC и BP пересекаются в точке К. Найдите отношение BK : KP.
25)В треугольнике АВС А1 лежит на стороне ВС и ВА1 : А1С = 1 : 3, С1 – середина АВ. Найдите отношение АК : КА1, где К – точка пересечения АА1 и СС1.
26)В треугольнике ABC точка K лежит на стороне AC, причем AK : KC = 2 : 3. Точка M делит сторону AB на два отрезка, один из которых вдвое больше другого. Прямая, проходящая через точку M параллельно BC, пересекает прямую BK в точке P. Найти отношение BP : KP.
27)Точки M и N расположены на стороне BC треугольника ABC, а точка K — на стороне AC, причём BM : MN : NC = 1 : 1 : 2 и CK : AK = 1 : 4. Известно, что площадь треугольника ABC равна 20. Найдите площадь четырёхугольника AMNK.
28)Через точки M и N, делящие сторону AB треугольника ABC на три равные части, проведены прямые, параллельные стороне BC. Найдите площадь части треугольника, заключённой между этими прямыми, если площадь треугольника ABC равна 3.
29)Сторона треугольника равна 36. Прямая, параллельная этой стороне, делит площадь треугольника пополам. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого между сторонами треугольника.
30)Из середины основания треугольника площади 2 проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите площадь полученного таким образом параллелограмма.
31)Четырёхугольник разделён диагоналями на четыре треугольника. Площади трёх из них равны 10, 20 и 30, и каждая меньше площади четвёртого треугольника. Найдите площадь данного четырёхугольника.
32)В треугольнике ABC из точки E стороны BC проведена прямая, параллельная высоте BD и пересекающая сторону AC в точке F. Отрезок EF делит треугольник ABC на две равновеликие фигуры. Найдите EF, если BD = 6, AD : DC = 2 : 7.
Смотрите также на нашем сайте:
Задание №7 решу ЕГЭ 2022 профиль математика 11 класс с ответами
Задание №8 с ответами ЕГЭ 2022 профиль математика 11 класс
ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ
Решение задания №16 КИМ ЕГЭ по математике
оценивается в 3 тестовых балла. Очень весомое задание, но именно его весомость,
номер (а все ученики знают – чем дальше, тем «страшнее») и формулировка делают
его достаточно непопулярным среди выпускников. Большая часть учащихся вообще не
приступают к его решению. Между тем при ближайшем рассмотрении задание №16
вполне по силам для учащихся, имеющих качественную оценку по геометрии и
владеющим теоретическими основами предмета.
Это планиметрическая задача, состоящая из двух
пунктов: пункт на доказательство геометрического факта и пункт на нахождение
одного из компонентов рассматриваемой конфигурации.
Рассмотрев более 40 задач из сборника Ященко, я
пришла к следующим выводам.
Особенности задания:
— условие, требующее иногда достаточно сложного
построения;
— применение для решения «непопулярных» теорем
планиметрии;
— применение алгебраических методов (введение
параметра, работа с преобразованиями выражений, рассмотрение суммы или разности
элементов и пр).
Достаточно часто для доказательства и нахождения
элементов используются основные знания и умения планиметрии:
—
свойства равнобедренного и
прямоугольного треугольника,
—
свойства четырехугольников,
—
признаки равенства и
подобия треугольников,
—
свойства вписанных в
окружность углов, касательных, хорд,
—
теорема Пифагора и др.
Наравне
с вышеперечисленными фактами используются факты, которым в курсе геометрии
уделяется недостаточно внимания. То есть в планиметрии эти факты изучаются,
применяются при решении нескольких задач и, скорей всего, благополучно
забываются:
—
расположение центра
окружности, описанной около треугольника,
—
условие вписанного и
описанного четырёхугольника,
—
теорема косинусов,
—
признаки четырехугольников
и др.
Сведения из дополнительной главы
«Некоторые сведения из планиметрии», рассматриваемой обычно в 11 классе, а
именно
—
угол между касательной и
хордой,
—
теорема об отрезках,
связанных с окружностью,
—
углы с вершинами внутри и
вне круга,
—
теорема о медиане.
Несомненно, кроме знаний теоретических фактов, задача требует умения
проводить доказательные рассуждения. В этом отношении задания неравнозначны.
Некоторые решаются с помощью 2-3 очевидных выводов, для других нужно
выстраивать длинную цепочку следствий. Часто приходится применять достроения,
вынос чертежа.
Лично для меня задания оказались интересны своей «эвристической» составляющей.
Тот самый момент, когда надо увидеть, озариться. Именно за это и люблю
геометрию. Каждая задача – маленькая головоломка, которую надо сложить.
Удовлетворение от решения 100%-ное!
В качестве примерного алгоритма для решения можно порекомендовать метод
«мозговой штурм».
1. Выполните рисунок, проверьте его
произвольность и инвариантность
2. Обозначьте на рисунке все равные отрезки и
углы, прямые углы
3. Выпишите все объекты (треугольники,
четырехугольники), которые вы видите на рисунке
4. Записывайте все факты, теоремы и соотношения,
связанные с выделенными объектами
5. Продолжайте цепочку следствий от записанных
фактов. «Тупиковые» отбрасывайте. Самые прогрессивные оставляйте, соотносите
друг с другом
6. При отсутствии результата повторяйте с пункта
3, но выделяйте уже не объекты, а элементы (углы, отрезки).
Примеряйте,
пробуйте, фантазируйте.
Но
рекомендовать для решения своим ученикам надо обязательно.
Задания в сборниках периодически повторяются или рассматриваются аналогичные
задачи. Поэтому предлагаю решения 9 задач. Причем полностью решены 3 задачи,
остальные – только доказаны. За доказательство без решения ученик получает 1
балл из 3-х.
За это задание ты можешь получить 2 балла. На решение дается около 35 минут. Уровень сложности: повышенный.
Средний процент выполнения: 15.4%
Ответом к заданию 16 по математике (профильной) может быть развернутый ответ (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).
Разбор сложных заданий в тг-канале
Задачи для практики
Задача 1
В начале года Пётр взял в банке кредит $3{,}6$ млн рублей с процентной ставкой $10%$ годовых на $3$ года с погашением кредита по следующей схеме:
— в начале года банк увеличивает долг на $10%$;
— выплаты производятся в конце каждого года;
— каждая следующая выплата на $10%$ больше предыдущей.
Сколько рублей переплатил Пётр банку, погасив свой кредит по указанной схеме за три года?
Решение
Пусть $a = 3.6$ млн.$= 3600$ тыс. рублей и $b_1 , b_2 , b_3$ — выплаты по годам (в тысячах рублей), тогда
$1.1a — b_1 = b$ тыс. рублей — долг после первой выплаты;
$1.1b — b_2 = c$ тыс. рублей — долг после второй выплаты;
$1.1c — b_3 = 0$ тыс. рублей — долг после третьей выплаты;
Проделав обратные преобразования, выразим $a$ через $b_1$, учитывая, что $b_2 = 1.1b_1, b_3 = 1.1^2b_1$ получим:
$a = {b_1}/{1.1} + {b_2}/{1.21} + {b_3}/{1.331} = {b_1}/{1.1} + {b_1}/{1.1} + {b_1}/{1.1} = {3b_1}/{1.1}$, поэтому $b_1 = {1.1a}/{3}$. Учитывая, что $a = 3600$ тыс. рублей, найдем величину первой выплаты $b_1 = {1.1 ·3600}/{3} = 1320$ тыс. рублей. Тогда вторая выплата равна $b_2 = 1.1 · 1320 = 1452$ тыс. рублей, а третья выплата равна $1.1 · 1452 = 1597.2$ тыс. рублей. Сумма всех выплат равна $1320 + 1452 + 1597.2 = 4369.2$ тыс. рублей, значит, Петр переплатил банку $4369.2 — 3600 = 769.2$ тыс. рублей.
Ответ: 769200
Задача 2
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $r %$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Известно, что если ежегодно выплачивать по $72000$ рублей, то кредит будет полностью погашен за $4$ года, а если ежегодно выплачивать по $122000$ рублей, то кредит будет полностью погашен за $2$ года. Найдите число $r$.
Решение
Пусть сумма кредита равна $S$ рублей, ежегодная выплата равна $x$ рублей, $q = 1 + {r}/{100}$ — процентный коэффициент. По условию долг на июль меняется следующим образом:
июль $2021: S_1 = qS — x$,
июль $2022: S_2 = qS_1 — x = q^2S — (q + 1)x$.
Если за 2 года кредит не погашен, то далее:
июль $2023: S_3 = qS_2 — x = q^3 S — (q^2 + q + 1)x$,
июль $2024: S_4 = qS_3 — x = q^4 S — (q^3 + q^2 + q + 1)x = q^4 S — {(q^4 — 1)x}/{q- 1}$.
Если долг выплачен двумя равными платежами $x_2$, то $S_2 = 0$. Тогда $q^2 S — (q + 1)x_2 = 0, S = {(q + 1)x_2}/{q^2}$.
Если долг выплачен четырьмя равными платежами $x_4$, то $S_4 = 0$. Тогда $q^4 S — {(q^4- 1)x_4}/{q- 1} = 0, S = {(q^4 — 1)x_4}/{q^4 (q — 1)}$.
Исключив из уравнений сумму кредита $S$, получим ${(q + 1)x_2}/{q^2} = {(q^4 — 1)x_4}/{q^4 (q — 1)}, q^2 = {x_4}/{x_2 — x_4}$.
По условию $x_4 = 72 000, x_2 = 122 000$. Значит $q^2 = {72 000}/{122 000 — 72 000} = {36}/{25}, q = {6}/{5} = 1.2, r = 20$.
Ответ: 20
Задача 3
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $r %$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Известно, что если ежегодно выплачивать по $50000$ рублей, то кредит будет полностью погашен за $4$ года, а если ежегодно выплачивать по $82000$ рублей, то кредит будет полностью погашен за $2$ года. Найдите число $r$.
Решение
Пусть сумма кредита равна $S$ рублей, ежегодная выплата равна $x$ рублей, $q = 1 + {r} / {100}$ — процентный коэффициент. По условию долг на июль меняется следующим образом:
июль 2021: $S_1 = qS — x$,
июль 2022: $S_2 = qS_1 — x = q^2S — (q + 1)x$,
июль 2023: $S_3 = qS_2 — x = q^3S — (q^2 + q + 1)x$,
июль 2024: $S_4 = qS_3 — x = q^4S — (q^3 + q^2 + q + 1)x = q^4S — {(q^4 — 1)x} / {q — 1}$. Если долг выплачен двумя равными платежами $x_2$, то $S_2 = 0$. Тогда
$q^2S — (q + 1)x_2 = 0$, $S = {(q + 1)x_2} / {q^2}$. Если долг выплачен четырьмя равными платежами $x_4$, то $S_4 = 0$. Тогда
$q^4S — {(q^4 — 1)x_4} / {q — 1} = 0$, $S = {(q^4 — 1)x_4} / {q^4(q — 1)}$. Исключив из уравнений сумму кредита $S$, получим
${(q + 1)x_2} / {q^2} = {(q^4 — 1)x_4} / {q^4(q — 1)}$, $q^2 = {x_4} / {x_2 — x_4}$. По условию $x_4 = 50000$, $x_2 = 82000$. Значит,
$q^2 = {50000} / {82000 — 50000} = {25} / {16}$, $q = {5} / {4} = 1{,}25$, $r = 25 %$.
Ответ: 25
Задача 4
Вклад в размере $5$ млн руб. планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на $20 %$ по сравнению с его значением в начале года. Кроме того, в середине первого и второго годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на $P$ млн руб., где $P$ — целое число. Найдите наименьшее значение $P$, при котором банк за $4$ года начислит на вклад больше $8$ млн рублей.
Решение
При увеличении вклада на $20%$ он увеличивается в ${100+20} / {100}=1{,}2$
раза. После первого начисления процентов вклад стал равен ($1{,}2⋅ 5+P$) млн руб. После второго начисления процентов вклад стал равен $((1{,}2⋅ 5+P)⋅ 1{,}2+P)$ млн руб. Вкладчик положил на вклад ($5+2P$) млн руб., и по условию сумма на вкладе в конце четвёртого года больше вложенного более чем на $8$ млн руб. Запишем неравенство. $((1{,}2⋅ 5+P)⋅ 1{,}2+P)⋅ 1{,}2^2>5+2P+8$. $(7{,}2+2{,}2P)⋅ 1{,}44>13+2P$, $1{,}168P>2{,}632$, $P>{2632} / {1168}$, $P>2{296} / {1168}$. Наименьшее целое $P$ равно $3$.
Ответ: 3
Задача 5
Клиент планирует взять в банке льготный кредит на целое число миллионов рублей сроком на $5$ лет. В середине каждого года действия кредита долг клиента возрастает на $20%$ по сравнению с началом года. В конце $1$-го, $2$-го и $3$-го годов клиент выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце $4$-го и $5$-го годов клиент выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат клиента превысит $20$ млн рублей.
Решение
Пусть $S$ млн руб. — сумма кредита. Так как в конце 1-го, 2-го и 3-го годов клиент выплачивает по $0.2S$, то за три года он выплатит $0.2S · 3 = 0.6S$.
Рассмотрим погашение кредита за 4-й и 5-й годы. В середине четвёртого года долг возрастёт до $1.2S$. Обозначим через x размер выплачиваемой суммы в конце 4-го и 5-го годов. После выплаты в конце четвёртого года долг равен $1.2S — x$, а в середине 5-го года долг равен $1.2(1.2S — x)$. В конце 5-го года весь долг должен быть погашен, то есть последняя выплата равна $1.2(1.2S — x)$ и по условию равна $x$. Отсюда $1.2(1.2S — x) = x, 2.2x = 1.44S, x = {144}/{220} S={36}/{55}S$.
Общий размер выплат равен $0.6S+{36}/{55}S + {36}/{55} S = {21}/{11} S$.
По условию ${21}/{11} S > 20, S > 10{10}/{21}$. Найдём наименьшее целое $S$.
Неравенство выполнимо при $S = 11$. Наименьший размер кредита составляет $11$ млн рублей.
Ответ: 11
Задача 6
В июле $2019$ года планируется взять кредит в банке в размере $N$ млн рублей, где $N$ — натуральное число, сроком на $3$ года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на $20%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
| Месяц и год | Июль 2019 | Июль 2020 | Июль 2021 | Июль 2022 |
| Долг (в млн руб.) | $N$ | $0{,}6N$ | $0{,}4N$ | $0$ |
Найдите наименьшее значение $N$, при котором каждая из выплат будет составлять целое число миллионов рублей.
Решение
По условию в январе каждого года долг увеличивается на $20%$, значит, долг в январе каждого года равен
$1.2N; 0.6 · 1.2N; 0.4 · 1.2N$, то есть $1.2N, 0.72N, 0.48N$.
Следовательно, выплаты с февраля по июнь каждого года составляют: $1.2N — 0.6N; 0.72N — 0.4N; 0.48N — 0$, то есть $0.6N, 0.32N, 0.48N$.
Представим коэффициенты $0.6; 0.32; 0.48$ в виде несократимых дробей, получим ${3}/{5}, {8}/{25}, {12}/{25}$.
По условию числа $N , {3N}/{5}, {8N}/{25}, {12N}/{25}$ должны быть целыми. Числа $3$ и $5, 8$ и $25, 12$ и $25$ образуют пары взаимно простых чисел, значит, число $N$ должно делиться на $5$ и $25$. Наименьшее общее кратное этих чисел равно $25$.
Наименьшее значение $N$ равно $25$ млн рублей.
Ответ: 25
Задача 7
15 января планируется взять кредит в банке на сумму $2$ млн рублей на $6$ месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг (в млн рублей) | $2$ | $1{,}8$ | $1{,}6$ | $1{,}2$ | $0{,}8$ | $0{,}4$ | $0$ |
Найдите наименьшее значение $r$, при котором общая сумма выплат будет составлять более $2{,}5$ млн рублей.
Решение
По условию текущий долг возрастает на $r$ процентов каждый месяц, тогда на 15-е число каждого месяца выплаты процентов за обслуживание кредита составят:
${2r} / {100}$; ${1{,}8r} / {100}$; ${1{,}6r} / {100}$; ${1{,}2r} / {100}$; ${0{,}8r} / {100}$; ${0{,}4r} / {100}$.
Общая сумма выплат (выплата процентов и суммы, взятой в кредит) равна
$2+{2} / {100}r+{1{,}8} / {100}r+{1{,}6} / {100}r+{1{,}2} / {100}r+{0{,}8} / {100}r+{0{,}4} / {100}r>2{,}5$,
$7{,}8r>50$,
$r>6{16} / {39}$,
$r$ — целое число, значит, наименьшее значение $r=7$.
Ответ: 7
Задача 8
В июле планируется взять кредит в банке на сумму $6$ млн рублей на срок $10$ лет. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $p%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущем июлем.
Найдите наименьшую возможную ставку $p$, если известно, что последний платёж будет не менее $0{,}684$ млн рублей.
Решение
Долг уменьшался равномерно 10 лет на $x$ млн руб. ежегодно. Тогда $6 — 10 · x = 0, x = 0.6$.
Каждый год долг уменьшался на $0.6$ млн рублей. Ниже приведена таблица за 10 лет.
| I | I I | I I I | I V | V | V I | V I I | V I I I | I X | X | |
| 6 | 5.4 | 4.8 | 4.2 | 3.6 | 3 | 2.4 | 1.8 | 1.2 | 0.6 | 0 |
Последний платёж по условию не меньше $0.684$ млн. руб.
$0.6 · (1 + 0.01p) ≥ 0.684$,
$1 + 0.01p ≥ 1.14$,
$p ≥ 14.$
Наименьшая ставка $p = 14%.$
Ответ: 14
Задача 9
В июле планируется взять кредит в банке на сумму $11$ млн рублей на срок $10$ лет. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $r%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущем июлем.
Найдите наименьшую возможную ставку $r$, если известно, что последний платёж будет не менее $1{,}265$ млн рублей.
Решение
Согласно условию возврата кредита, ежегодно сумма долга будет уменьшаться на ${11} / {10}$ млн рублей, а плата за пользование кредитом будет составлять $r%$ от оставшейся суммы долга. Тогда последний платёж будет $({11} / {10}+{11} / {10}⋅ {r} / {100})$ млн рублей, что по условию составляет не менее $1{,}265$ млн рублей. ${11} / {10}(1+{r} / {100})⩾ 1{,}265$, $1+{r} / {100}⩾ 1{,}15$, $r⩾ 15$. Наименьшая возможная ставка — $15%$.
Ответ: 15
Задача 10
Вклад планируется открыть на $3$ года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на $10 %$ по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале второго и третьего годов вклад ежегодно пополняется на $1$ млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада (в млн рублей), при котором через три года вклад будет больше $5$ млн рублей.
Решение
Пусть первоначальный вклад был $N$ миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на $10%$, то есть в $1{,}1$ раза. Выпишем размер вклада после увеличения в конце каждого года.
В конце $1$-го года: $N⋅ 1{,}1=1{,}1N$.
В конце $2$-го года: $(1{,}1N+1)⋅ 1{,}1=1{,}21N + 1{,}1$.
В конце $3$-го года: $(1{,}21N+1{,}1+1)⋅ 1{,}1=1{,}331N + 2{,}31$.
Найдём наименьший размер первоначального вклада, при котором через три года вклад будет больше $5$ млн рублей.
$1{,}331N + 2{,}31>5$,
$1{,}331N>2{,}69$, $N>2{28} / {1331}$.
По условию $N$ — целое число, значит, $3$ миллиона рублей — наименьший первоначальный вклад.
Ответ: 3
Задача 11
$15$ января планируется взять кредит в банке на несколько месяцев. Условия его возврата таковы:
— $1$-го числа каждого месяца долг возрастает на $12{,}5%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со $2$-го по $14$-е число месяца необходимо выплатить часть долга;
— $15$-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев планируется взять кредит, если общая сумма выплат после полного погашения кредита на $50%$ больше суммы, взятой в кредит?
Решение
Рассмотрим два способа решения.
I способ
Пусть K сумма планируемого кредита, nчисло месяцев на которое планируется взять кредит.
Тогда долг на 15-е число каждого месяца, последующего за месяцем взятия кредита, становится меньше долга на 15-е число предыдущего месяца на сумму ${K}/{n}$. Согласно условию последовательность долгов на 15-е число по месяцам имеет вид:
$K; K — {K}/{n} = K·{n — 1}/{n}; K — 2·{K}/{n} = K·{n — 2}/{n}; … ; K· {1}/{n}$.
2. 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 12.5% по сравнению с концом предыдущего месяца.
Пусть d долг, который образуется в конце предыдущего месяца. 1-го числа последующего месяца он станет равным $d + d·{12.5}/{100}$.
Согласно условию к 15-у числу этого месяца он должен стать равным $d — {K}/{n}$. Поэтому в указанном месяце необходимо выплатить сумму $(d + d·{12.5}/{100}) — (d — {K}/{n}) = d·{12.5}/{100} + {K}/{n}$.
Отсюда получается последовательность $x_1; x_2; x_3; … ; x_n$ выплат по месяцам:
$x_1 = K·{12.5}/{100} + {K}/{n}$;
$x_2 = K·{n — 1}/{n}·{12.5}/{100} + {K}/{n}$;
$x_3 = K·{n — 2}/{n}·{12.5}/{100} + {K}/{n}$;
… ;
$x_n = K·{1}/{n}·{12.5}/{100} + {K}/{n}$.
Как видим последовательность $x_1; x_2; x_3; … x_n$ является убывающей арифметической прогрессией (наибольшим числом является $x_1$, а наименьшим $x_n$). Её сумма $S_n$ находится по формуле $S_n = {x_1 + x_n}/{2} ·n$.
3. По условию $S_n$ на 50% больше суммы, взятой в кредит, поэтому $S_n = {3}/{2}K$:
$S_n = {K·{12.5}/{100} + {K}/{n} + K·{1}/{n}·{12.5}/{100} + {K}/{n}}/{2} ·n = {K ·{12.5}/{100}(1 + {1}/{n}) + {2K}/{n}/{2} ·n$;
$S_n = K ·{12.5}/{200}(n + 1) + K$.
Отсюда, $K ·{12.5}/{200}(n + 1) + K = {3}/{2}K, {12.5}/{200}(n + 1) = {1}/{2}, {1}/{16}(n + 1) = {8}/{16}, n + 1 = 8, n = 7$.
II способ
Пусть K — сумма планируемого кредита, n — число месяцев, на которое планируется взять кредит. Ежемесячный платёж состоит из двух частей. Перваяодна и та же сумма ${K}/{n}$ рублей, на которую каждый месяц уменьшается сумма долга.
Вторая плата за пользованием кредитом, которая составляет 12.5% от оставшегося долга.
Долг перед банком по состоянию на 15-е число каждого месяца, последующего за месяцем взятия кредита, должен уменьшаться до нуля равномерно: $K; K — {K}/{n}; K — 2·{K}/{n}; . . . ; K — (n — 1)·{K}/{n}; K — n{K}/{n} = 0$.
$K·{n}/{n}; K·{n — 1}/{n}; K·{n — 2}/{n}; . . . ; K·{n — (n — 1)}/{n} = K·{1}/{n}; 0$.
Так как $12.5% = {12.5}/{100} = {1}/{8}$, то ежемесячные выплаты за пользование кредитом составят
${1}/{8}K·{n}/{n}, {1}/{8}K·{n — 1}/{n}, {1}/{8}K ·{n — 2}/{n}, . . . , {1}/{8}K·{1}/{n}$.
Найдём сумму выплат $S$ за пользование кредитом: $S = {K}/{8n} (n + (n — 1) + (n — 2) + … + 1) = {K}/{8n}· {n + 1}/{2}· n = {K(n + 1)}/{16}$.
По условию общая сумма выплат после погашения кредита на 50% больше суммы, взятой в кредит, то есть $S = {1}/{2}K$.
${K(n + 1)}/{16} = {1}/{2}K, n + 1 = 8, n = 7$.
Кредит планируется взять на $7$ месяцев.
Ответ: 7
Задача 12
В банке взяли кредит на сумму $140000$ рублей под $r%$ годовых (в конце года сумма долга увеличивается на $r%$) и выплатили двумя платежами — $87000$ рублей и затем $63000$ рублей. Найдите $r$.
Решение
1. Через год сумма долга увеличится на $r%$ и станет равной $140 000(1 + {r}/{100})$ рублей. После выплаты $87 000$ рублей долг станет равным $140 000 (1 + {r}/{100}) — 87 000$ рублей.
2. После увеличения в конце второго года на $r%$ долг станет равным $(140 000(1 + {r}/{100}) — 87 000)(1 + {r}/{100})$ рублей. А после выплаты $63 000$ рублей он станет равным нулю. Получаем уравнение: $(140 000(1 + {r}/{100}) — 87 000)(1 + {r}/{100}) — 63 000 = 0$.
3. Пусть $(1 + {r}/{100}) = x$. Тогда уравнение принимает вид: $(140 000x- 87 000)x — 63 000 = 0$;
$140 000x^2 — 87 000x — 63 000 = 0; 140x^2 — 87x — 63 = 0$
По формуле корней квадратного уравнения получаем
$x_{1,2} = {87±√{7569 + 35280}}/{280} = {87±√{42 849}}/{280} = {87±207}/{280}$.
$x_1 = {87 — 207}/{280} < 0$, что невозможно по условию.
$x_2 = {87 + 207}/{280} = {294}/{280} = 1{14}/{280} = 1 + {1}/{20} = 1 + {5}/{100}$.
Отсюда, $(1 + {r}/{100}) = 1 + {5}/{100}, r = 5$.
Ответ: 5
Задача 13
В банке взяли кредит на сумму $150000$ рублей под $r%$ годовых (в конце года сумма долга увеличивается на $r%$) и выплатили его двумя платежами — $95000$ рублей и затем $77000$ рублей. Найдите $r$.
Решение
1. Через год сумма долга увеличится на $r%$ и станет равной $150000(1+{r} / {100})$ рублей. После выплаты $95000$ рублей долг станет равным $150000(1+{r} / {100})-95000$ рублей.
2. После увеличения в конце года на $r%$ долг станет равным $(150000(1+{r} / {100})-95000)(1+{r} / {100})$ рублей. А после выплаты $77000$ рублей он станет равным нулю. Получаем уравнение: $(150000(1+{r} / {100})-95000)(1+{r} / {100})-77000=0$.
3. Пусть $(1+{r} / {100})=x$.
Тогда уравнение принимает вид: $(150000x-95000)x-77000=0$; $150000x^2-95000x-77000=0$; $150x^2-95x-77=0$
По формуле корней квадратного уравнения получаем: $x_{1,2}={95±√ {9025+46200}} / {300}={95±√ {55225}} / {300}={95±235} / {300}$.
$x_1={95-235} / {300}<0$, что невозможно по условию. $x_2={95+235} / {300}={330} / {300}=1{1} / {10}=1+{10} / {100}$. Отсюда, $(1+{r} / {100})=1+{10} / {100}$, $r=10$.
Ответ: 10
Задача 14
В июне $2022$ года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму в рублях. Условия его возврата таковы:
— в январе каждого года долг возрастает на $12{,}5%$ по сравнению с долгом в июне;
— с февраля по $31$ мая каждый год необходимо выплатить часть долга одним платежом.
Определите, на какую сумму планируют взять кредит в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен в течение трёх лет тремя равными платежами и общая сумма выплат будет больше суммы взятого кредита на $20295$ рублей.
Решение
1. Пусть сумма взятого кредита в рублях равна K рублей, а сумма ежегодного платежа равна x рублей. В январе 2023 года долг возрастёт на 12.5% и станет равным $K·1.125$ рублей. Тогда после внесения платежа в x рублей к концу мая 2023 года долг станет равным $K·1.125-x$ рублей.
В январе 2024 года этот долг опять увеличится на 12.5% и с февраля по конец мая 2024 года будет внесён платеж в $x$ рублей. В июне 2024 года долг составит $(K·1.125 — x)·1.125 — x$ рублей.
Наконец, в январе 2025 года этот долг опять увеличится на 12.5% и с февраля по конец мая 2025 года будет внесён платеж в x рублей. Первого июня 2025 года долг составит $((K·1.125-x)·1.125-x)1.125-x$ рублей. По условия кредит будет погашен тремя платежами, поэтому получаем уравнение:
$((K·1.125 — x)·1.125 — x)1.125 — x = 0$;
$x = {K·(1.125)^3}/{(1.125)^2 + 1.125 + 1}$.
Заметим, что $1.125 = {9}/{8}$, поэтому $x = {K·(9)^3}/{8·9^2 + 8^2·9 + 8^3} = {K·729}/{8·217}$;
Так как вся сумма выплат равна $3x$, то сумма выплат равна $3·{K·729}/{1736} = {K·2187}/{1736}$.
Согласно условию получаем уравнение: ${K·2187}/{1736} = K + 20295$;
${K·(2187- 1736)}/{1736} = 20295; {K·451}/{1736} = 20295$;
$K = 45·1736=78120$
Ответ: 78.120
Задача 15
В октябре $2016$ года решили взять кредит в банке на некоторую сумму в рублях. Условия его возврата таковы:
— в январе каждого года долг возрастает на $8%$ по сравнению с долгом в октябре;
— с февраля по $30$ сентября каждый год необходимо выплатить часть долга одним платежом.
Определите, на какую сумму взяли кредит в банке, если известно, что кредит был полностью погашен в течение трёх лет тремя равными платежами и общая сумма выплат больше суммы взятого кредита на $8324$ рубля.
Решение
1. Пусть сумма взятого кредита в рублях равна K рублей, а сумма ежегодного платежа равна x рублей. В январе 2020 года долг возрастёт на 8% и станет равным $K·1.08$ рублей. Тогда после внесения платежа в x рублей к концу сентября 2020 года долг станет равным $K·1.08-x$ рублей.
В январе 2021 года этот долг опять увеличится на 8% и с февраля по конец сентября 2021 года будет внесён платеж в x рублей. В октябре 2021 года долг составит $(K·1.08 — x)·1.08 — x$ рублей.
Наконец, в январе 2022 года этот долг опять увеличится на 8% и с февраля по конец сентября 2022 года будет внесён платеж в x рублей. Первого октября 2022 года долг составит $((K·1.08-x)·1.08-x)1.08-x$ рублей. По условия кредит будет погашен тремя платежами, поэтому получаем уравнение:
$((K·1.08 — x)·1.08 — x)1.08 — x = 0$;
$1.08^3K — 1.08^2·x — 1.08x — x = 0$.
$x = {K·(1.08)^3}/{(1.08)^2 + 1.08 + 1}$.
Заметим, что $1.08 = {27}/{25}$, поэтому $x = {K·(27)^3}/{25·((27)^2 + 25·27 + (25)^2)} = {K·19 683}/{25·2029}$;
Так как вся сумма выплат равна $3x$, то сумма выплат равна $3·{K·19 683}/{50 725} = {K·59 049}/{50 725}$.
Согласно условию получаем уравнение: ${K·59 049}/{50 725} = K + 8324$;
${K·(59 049- 50 725)}/{50 725} = 8324; {K·8324}/{50 725} = 8324$;
$K = 50 725$
Ответ: 50.725
Задача 16
Первого июля был взят кредит в банке на сумму $394400$ рублей на $4$ года. Условия его возврата таковы:
— в конце декабря каждого года долг возрастает на $12{,}5%$ по сравнению с долгом на первое июля;
— с первого января по $30$ июня каждый год необходимо выплатить часть долга одним платежом;
— сумма платежа каждый год одна и та же (о таком кредите говорят «на четыре года равными платежами с $12{,}5$ процентами годовых»).
Чему будет равна переплата по кредиту в рублях после полного погашения кредита?
Решение
В конце декабря первого года долг возрастёт на $12.5%$ и станет равным $394 400·1.125$. Пусть $x$ — сумма в рублях ежегодного платежа. Тогда после внесения платежа в $x$ рублей к началу июля второго года долг станет равным $394 400·1.125 — x$ рублей.
В конце декабря второго года этот долг опять увеличится на $12.5%$ и с января по конец июня третьего года будет внесён платеж в $x$ рублей.
Первого июля третьего года долг составит $(394 400·1.125-x)·1.125-x$. Аналогично рассуждая получим, что долг на 1-ое июля пятого года будет равен
$(((394 400·1.125-x)·1.125-x)·1.125-x)·1.125-x$. Так как после четырёх внесений долг исчерпается, то получаем уравнение:
$(((394 400·1.125 — x)·1.125 — x)·1.125 — x)·1.125 — x = 0$;
$394 400·(1.125)^4 — x((1.125)^3 + (1.125)^2 + 1.125 + 1) = 0$;
$x = {394 400·(1.125)^4}/{(1.125)^3 + (1.125)^2 + 1.125 + 1}$.
Применяя формулу суммы геометрической прогрессии, получаем:
$x = {394 400·(1.125)^4}/{{(1.125)^4 — 1}/{1.125 — 1}} = {394 400·(1.125)^4·0.125}/{(1.125)^4 — 1}$.
Заметим, что $1.125 = {9}/{8}$, а $0.125 = {1}/{8}$, поэтому
$x = {394 400·(1.125)^4·0.125}/{(1.125)^4 — 1} = {394 400·9^4·8^4}/{8^4·8·(9^4 — 8^4)} = {394 400·6561}/{8·(6561 — 4096)}$;
$x = {394 400·6561}/{8·2465} = {394 400·6561}/{19720} = 20·6561 = 131 220$.
Так как вся сумма выплат равна $4x$, то она равна $4·131 220 = 524 880$.
Сумма переплат по кредиту равна $524 880- 394 400 = 130 480$ рублей.
Ответ: 130480
Задача 17
Первого августа был взят кредит в банке на сумму $100650$ рублей на $4$ года. Условия его возврата таковы:
— в конце декабря каждого года долг возрастает на $20%$ по сравнению с долгом на первое августа;
— с первого января по $31$ июля каждый год необходимо выплатить часть долга одним платежом;
— сумма платежа каждый год одна и та же (о таком кредите говорят: «на четыре года равными платежами с $20$ процентами годовых»).
Чему будет равна в рублях общая сумма выплат после полного погашения кредита?
Решение
1. В конце декабря первого года долг возрастёт на $20%$ и станет равным $100650⋅ 1{,}2$. Пусть $x$ — сумма в рублях ежегодного платежа. Тогда после внесения платежа в $x$ рублей к началу августа второго года долг станет равным $100650⋅ 1{,}2-x$ рублей. В конце декабря второго года этот долг опять увеличится на $20%$ и с января по конец июля третьего года будет внесён платеж в $x$ рублей. Первого августа третьего года долг составит $(100650⋅ 1{,}2-x)⋅ 1{,}2-x$. Аналогично рассуждая, получим, что долг на $1$ августа пятого года будет равен $(((100650⋅ 1{,}2-x)⋅ 1{,}2-x)⋅ 1{,}2-x)⋅ 1{,}2-x$. Так как после четырёх внесений долг исчерпается, то получаем уравнение: $(((100650⋅ 1{,}2-x)⋅ 1{,}2-x)⋅ 1{,}2-x)⋅ 1{,}2-x=0$; $100650⋅ (1{,}2)^4-x((1{,}2)^3+(1{,}2)^2+1{,}2+1)=0$; $x={100650⋅ (1{,}2)^4} / {(1{,}2)^3+(1{,}2)^2+1{,}2+1}$. Применяя формулу суммы геометрической прогрессии, получаем: $x={100650⋅ (1{,}2)^4} / {{(1{,}2)^4-1} / {1{,}2-1}}={100650⋅ (1{,}2)^4⋅0{,}2} / {(1{,}2)^4-1}$. Заметим, что $1{,}2={6} / {5}$, а $0{,}2={1} / {5}$, поэтому
$x={100650⋅ (1{,}2)^4⋅0{,}2} / {(1{,}2)^4-1}={100650⋅ 6^4⋅5^4} / {5^4⋅5⋅(6^4-5^4)}={100650⋅ 1296} / {5⋅(1296-625)}$; $x={100650⋅ 1296} / {5⋅671}=30⋅1296=38880$. Так как вся сумма выплат равна $4x$, то она равна $4⋅ 38880=155520$ рублей.
Ответ: 155.520
Задача 18
В мае планируется взять кредит в банке на сумму $15$ млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $6%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по апрель каждый год необходимо выплатить часть долга;
— в мае каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на май предыдущего года.
На сколько лет надо взять кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения кредита составляла $17{,}25$ млн рублей?
Решение
1. Пусть $n$ — число лет, на которое планируется взять кредит. Тогда долг на май месяц каждого года, последующего за годом взятия кредита становится меньше долга на май предыдущего года на сумму ${15}/{n}$. Согласно условию последовательность долгов на май месяц в млн рублей по годам имеет вид:
$15; 15 — {15}/{n} = 15·{n — 1}/{n}; 15 — 2·{15}/{n} = 15·{n — 2}/{n}; … ; 15·{1}/{n}$.
2. В январе каждого года, последующего за годом взятия кредита долг возрастает на 6% по сравнению с концом предыдущего года.
Пусть $d$ — долг, который образуется в конце некоторого года. В январе последующего года он станет равным $d + d·{6}/{100}$.
Согласно условию к маю этого года он должен стать равным $d — {15}/{n}$. Поэтому в указанном году необходимо выплатить сумму $(d + d· {6}/{100}) — (d — {15}/{n}) = d·{6}/{100} + {15}/{n}$.
Отсюда получается последовательность $x_1; x_2; x_3; … ; x_n$ выплат по годам в млн рублей :
$x_1 = 15 · {6}/{100} + {15}/{n}$;
$x_2 = 15 · {n — 1}/{n} · {6}/{100} + {15}/{n}$;
$x_3 = 15 · {n — 2}/{n} · {6}/{100} + {15}/{n}$;
… ;
$x_n = 15 · {1}/{n} · {6}/{100} + {15}/{n}$.
Как видим последовательность $x_1; x_2; x_3; … ; x_n$ является убывающей арифметической прогрессией. Наибольшим числом является $x_1$, а наименьшим $x_n$. Её сумма $S_n$ находится по формуле $S_n = {x_1 + x_n}/{2}·n$.
3. Найдём теперь $n$ из условия $S_n = {x_1 + x_n}/{2}·n=17.25$:
$17.5={15·{6}/{100} + {15}/{n} + 15·{1}/{n}·{6}/{100} + {15}/{n}}/{2}·n $;
$34.5 = 0.9n + 0.9 + 30; 3.6 = 0.9n; n = 4.$.
Ответ: 4
Задача 19
В апреле планируется взять кредит в банке на сумму $12$ млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $2{,}5%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по март каждый год необходимо выплатить часть долга;
— в апреле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на апрель предыдущего года.
На сколько лет надо взять кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения кредита составляла $13{,}5$ млн рублей?
Решение
1. Пусть $n$ — число лет, на которое планируется взять кредит. Тогда долг на апрель месяц каждого года, последующего за годом взятия кредита становится меньше долга на апрель предыдущего года на сумму ${12}/{n}$. Согласно условию последовательность долгов на апрель месяц в млн рублей по годам имеет вид:
$12; 12 — {12}/{n} = 12·{n — 1}/{n}; 12 — 2·{12}/{n} = 12·{n — 2}/{n}; … ; 12·{1}/{n}$.
2. В январе каждого года, последующего за годом взятия кредита долг возрастает на 2.5% по сравнению с концом предыдущего года.
Пусть $d$ — долг, который образуется в конце некоторого года. В январе последующего года он станет равным $d + d·{2.5}/{100}$.
Согласно условию к апрелю этого года он должен стать равным $d — {12}/{n}$. Поэтому в указанном году необходимо выплатить сумму $(d + d· {2.5}/{100}) — (d — {12}/{n}) = d·{2.5}/{100} + {12}/{n}$.
Отсюда получается последовательность $x_1; x_2; x_3; … ; x_n$ выплат по годам в млн рублей :
$x_1 = 12 · {2.5}/{100} + {12}/{n}$;
$x_2 = 12 · {n — 1}/{n} · {2.5}/{100} + {12}/{n}$;
$x_3 = 12 · {n — 2}/{n} · {2.5}/{100} + {12}/{n}$;
… ;
$x_n = 12 · {1}/{n} · {2.5}/{100} + {12}/{n}$.
Как видим последовательность $x_1; x_2; x_3; … ; x_n$ является убывающей арифметической прогрессией. Наибольшим числом является $x_1$, а наименьшим $x_n$. Её сумма $S_n$ находится по формуле $S_n = {x_1 + x_n}/{2}·n$. Согласно условию получаем: $S_n = {5.75}/{2}·n = 2.875 ·n$.
3. Найдём теперь $n$ из условия $x_1 + x_n = 13.5$:
$13.5={12·{2.5}/{100} + {12}/{n} + 12·{1}/{n}·{2.5}/{100} + {12}/{n}}/{2}·n $;
$27 = 0.3n + 0.3 + 24; 2.7 = 0.3n; n = 9.$.
Ответ: 9
Задача 20
В августе $2017$ года планируется взять кредит на $S$ млн рублей, где $S$ — целое число, на $4$ года. Условия его возврата таковы: — каждый февраль долг возрастает на $25%$ по сравнению с концом предыдущего года; — с марта по июль каждого года необходимо выплатить часть долга; — в августе каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:
| Год | $2017$ | $2018$ | $2019$ | $2020$ | $2021$ |
| Долг (в млн. руб.) | $S$ | $0{,}8S$ | $0{,}5S$ | $0{,}3S$ | $0$ |
Найдите наименьшее целое $S$, чтобы общая сумма выплат была больше $5$ млн рублей.
Решение
В феврале 2018 года долг возрастает на 25% по сравнению с концом 2017 года: $S + 0.25S = 1.25S$.
С марта по июль долг уменьшается на некоторое число, обозначим его $P_n$ и будем считать, учитывая условие, что в 2018 году было выплачено $P_1$ и в каждом следующем $P_2, P_3, P_4$, соответственно. Итак, составим выражения для выплат в каждом году.
2018 г: $1.25S — P_1 = 0.8S$;
2019 г: $1.25⋅0.8S — P_2 = 0.5S$;
2020 г: $1.25⋅0.5S — P_3 = 0.3S$;
2021 г: $1.25⋅0.3S — P_4 = 0$.
Общая сумма выплат $(P_1 + P_2 + P_3 + P_4)$ должна быть больше 5 млн рублей, то есть $P_1 + P_2 + P_3 + P_4 > 5$.
$P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = 1.25S + 1.25·0.8S + 1.25·0.5S + 1.25·0.3S-(0.8S + 0.5S + 0.3S)$;
$P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = 1.25S(1 + 0.8 + 0.5 + 0.3) — S·(0.8 + 0.5 + 0.3), S(1.25 ·2.6 — 1.6) > 5, S ·1.65 > 5, S > 3{1}/{33}$.
Отсюда, $S = 4$ млн руб. (наименьшее значение).
Ответ: 4
Рекомендуемые курсы подготовки
Мотивация
Если вы откроете список всех задач по Планиметрии №16, которые встречались на ЕГЭ по Профилю за всё время его существования, вы удивитесь тому, как сильно она усложнилась, и на сегодняшний день на этой позиции стоит достаточно содержательная геометрическая задача с действительно порой навороченными конструкциями, которые вводят в ступор, начинающих её решать школьников. Всё это еще приправлено тем, что из года в год, на фоне эволюции этой задачи, или из-за этого, процент учеников школ решающих геометрию в ЕГЭ весьма низкий:
Хуже решается только задача по Стереометрии №13. Отсюда комом накатывается мнение, что «№16 решать дано не всем», «лучше меньше баллов, зато точно решу №12», «я нарисовал треугольник, а что делать не вижу дальше» и куча других деструктивных мыслей, которые точно не помогают вам в подготовке к ЕГЭ. По факту, из моего личного опыта, задачи по Геометрии что в ЕГЭ, что в ОГЭ, очень плохо решаются в силу отсутствия какого-то четкого алгоритма действий(как это есть в параметрах, уравнениях и неравенствах, финансовой математике), которые бы точно приводили к конкретным результатам — делай раз, делай два…
Всё правда, нам нужен не просто набор теории и формул с фактами, этого недостаточно. Нам нужна практика, опыт решения задач и стараться чувствовать эту логику при решении задач. И тут я не открою странных лайфхаков, секретных методик, будистких тайн и введьминых приколов. Будем честны, нужно время, конкретная структура и понятный набор ресурсов.
В рамках этой статьи я вложу весь свой преподавательский опыт и свои знания, как человека, который не перестаёт учиться и осваивать новые знания, чтобы помочь вам забрать на экзамене баллы за одну из самых сложных задач.
Начинаем с азов
Давайте представим, что ваша задача поднять с нуля ваши знания по геометрии на приемлемый для ЕГЭ и выше уровень. Нам не обойтись без основ и фундамента, с которым вы встречались со времен 7 класса. Что делаем? Берем учебник Атанасяна, и тут у многих расширятся зрачки и волна ужаса пройдет ледяной лавиной от бровей до мизинцев. На самом деле прошу не пугаться, нам нужен какой-то подробный школьный учебник, в котором будет изложена вся структурированная теория, необходимая и та, что мы можем применять для решения задач. Если у вас есть альтернативный — без проблем, используйте его.
Схема работы следующая: открываем со второй главы и для каждого параграфа нас будут интересовать все доказанные теоремы, а вернее не просто сухой факт, а то откуда он берется и как его доказать. Сначала пробуем сами как-то к этому придти, если не получается, то смотрим на то, какое доказательство приводит автор.
Важно! Мы не сидим тупо перед книжкой, развивая геморрой, мы берем ручку и листочек, и сидим выписываем, конспектируем и пробуем доказывать все указанные теоремы. А после просматриваем задачи в конце, решать все не нужно, только те, которые вам покажутся реально сложными и с наскока не понятными как решать.
Что нам это даст? Мы учимся воспринимать конструкции, понимать логику построения доказательства в геометрии того или иного утверждения, а также мы сами того не подозревая запоминаем всю нужную информацию, которую мы будем применять позже для решения задач №16 на ЕГЭ!
Подумайте сами, математика — это про структуру, логику, и сколько вам нужно времени чтобы зазубрить строчку предложения? 5 ? 10 минут? А на сколько вас хватит держать это всё в голове? Вы забудете при первой же возможности. Нам нужна логика доказательства этого факта, благодаря которой наш мозг будет обучаться новому подходу в мышлении и все что связанно с геометрическими фактами вы запомните намного лучше, если будете реально пытаться доказать простейшие факты из учебника. А также на самом экзамене, уровень стресса которого пробивает все возможные значения, вы будете 100% уверены, что используемый вами факт при решении задачи не вымысел возбужденного воображения.
Сколько нужно на это времени? Если идти со скоростью две главы в день, то около недели.
Как закрепить полученный результат на практике?
Теперь, друг, ты — мощь и сила! Но без практики нам не обойтись поэтому все полученные навыки начинаем применять для решения конкретных задач. Тут нам поможет книга Гордина «Планиметрия».
Схема работы с ней следующая: можете кратко просмотреть задачи данные в качестве разобранных в начале каждой главы, попробовать решить самостоятельно и потом сравнить с данным решением. Далее, переходим на отработку задач первого уровня, тут прям всё решать нет большого смысла, хоть и страшно полезно, но в режиме ограниченного времени сразу смотрим на задачи второго уровня и пытаемся прорешать максимальное количество в каждом разделе. После того как разобрались со вторым уровнем стараемся решить задачи из третьего, но тут уже можно прыгать с задачи на задачу, так как местами именно в третий уровень уже включены задачи чуть сложнее ЕГЭ. И ещё: главы про симметрии, вектора, координаты и повороты можете пропускать, если чувствуете нехватку сил, времени и вдохновения.
Кабанеем
Если со всем предыдущими пунктами справились — Glückwünsch! Поздравляю! У нас как раз есть время чтобы порешать сложные задачи и разобрать другие методы для планиметрии Прасолова. Это поможет вам разобраться с самыми разнообразными методами, которые могут повстречаться вам при решении геометрических задач. Плюс, будет реально посмотреть эту книгу и книгу Ткачука при подготовке уже к ДВИ МГУ, но это совсем другая история))
Уровень: Убийца планиметрии
На этом мы выходим на финальный этап и раз наша цель именно ЕГЭ, то дальше делаем следующее:
Открываем все задачи ЕГЭ с 2014 года и планомерно их прорешиваем. Такая процедура даст нам понимание того, что такое реальные ЕГЭшные задачи, а не Статград, от которого порой хочется сбежать. Плюс нарабатывается навык решения задачи за ограниченное время и правильное оформление всего что вы нарешали.
На этом всё?
На этом этапе я всегда даю себе время на подумать, потому что хочется что-то ещё добавить и впихнуть максимальное количество пользы. Но в данном случае, я в одной статье уместил годы опыта и сотни учеников. Схема рабочая, пользуйтесь.
Всегда рад отзывам и комментариям!
С Пламенной любовью,
Никита Салливан из Умскул.