Каталог заданий.
Шар
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Тип 2 № 27059 
Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.
Аналоги к заданию № 27059: 5049 27185 72765 72719 72721 72723 72725 72727 72729 72731 … Все
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.5.6 Площадь поверхности конуса, цилиндра, сферы
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
2
Тип 2 № 27072
Даны два шара. Радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Аналоги к заданию № 27072: 5075 73287 520653 520694 26551 73243 73245 73247 73249 73251 … Все
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.5.6 Площадь поверхности конуса, цилиндра, сферы
Классификатор планиметрии: Отношение длин, площадей, объемов подобных фигур
Классификатор стереометрии: Площадь сферы
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
3
Тип 2 № 27097
Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза?
Аналоги к заданию № 27097: 74403 74405 74407 74409 74411 74413 74415 Все
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.5.6 Площадь поверхности конуса, цилиндра, сферы
Классификатор планиметрии: Отношение длин, площадей, объемов подобных фигур, Подобие
Классификатор стереометрии: Площадь сферы
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
4
Тип 2 № 27125
Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.
Аналоги к заданию № 27125: 75307 75309 75311 75313 Все
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.5.6 Площадь поверхности конуса, цилиндра, сферы
Классификатор стереометрии: Объём цилиндра, конуса, шара
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
5
Тип 2 № 27162
Объем первого шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Аналоги к заданию № 27162: 76349 76355 505443 76351 76353 76357 76359 Все
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.5.6 Площадь поверхности конуса, цилиндра, сферы
Классификатор планиметрии: Отношение длин, площадей, объемов подобных фигур, Подобие
Классификатор стереометрии: Объём цилиндра, конуса, шара, Площадь сферы
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
Пройти тестирование по этим заданиям
08
Сен 2013
Категория: 02 Стереометрия
02. Шар
2013-09-08
2022-09-11
Задача 1. Объем шара равен 12348
. Найдите площадь его поверхности, деленную на 
Решение: + показать
Задача 2. Площадь большого круга шара равна 
Найдите площадь поверхности шара.
Решение: + показать
Задача 3. Площадь поверхности шара равна 
Найдите площадь большого круга шара.
Решение: + показать
Задача 4. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 
раз?
Решение: + показать
Задача 5. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в пять раз?
Решение: + показать
Задача 6. Объем первого шара в 
раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Решение: + показать
Задача 7. Радиусы двух шаров равны 
и 
Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.
Решение: + показать
Задача 8. Радиусы трех шаров равны 
, 
и 
Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.
Решение: + показать
Вы можете пройти тест
Автор: egeMax |
комментариев 7
Задачи
для подготовки к ЕГЭ
«Шар.
Площадь поверхности шара»
№1 Площадь большого круга шара равна 3. Найдите
площадь поверхности шара.
№2 Дано два
шара. Радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго. Во сколько раз
площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
№3 Радиусы
двух шаров равны 6 и 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого
равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.
№4Площадь поверхности
шара равна 24. Найдите площадь большого круга шара.
№5 Даны два
шара с радиусами 5 и 1. Во сколько раз площадь поверхности первого
шара больше площади поверхности второго?
№6 Шар вписан
в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь
поверхности шара.
№7 Около конуса
описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину).
Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Образующая конуса
равна 7
Найдите радиус сферы.
№8 Шар вписан
в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной
поверхности цилиндра.
Домашнее
задание
№1
Площадь большого круга шара равна
1. Найдите площадь поверхности шара.
№2 Дано два шара. Радиус первого шара в 60 раз
больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше
площади поверхности второго?
№3Радиусы двух шаров равны 32 и 60. Найдите
радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей
двух данных шаров.
№4 Площадь поверхности шара равна 12. Найдите
площадь большого круга шара.
№5 Даны два шара с радиусами 8 и 4. Во сколько
раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности
второго?
№6 Шар вписан в цилиндр. Площадь полной
поверхности цилиндра равна 6. Найдите площадь поверхности шара.
№7 Около конуса описана сфера (сфера содержит
окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с
центром основания конуса. Образующая конуса равна 
Найдите
радиус сферы.
№8 Шар вписан в цилиндр.
Площадь поверхности шара равна 30. Найдите площадь полной поверхности
цилиндра.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
мини-сборник для подготовки ГИА: «Уравнение с одной переменной»
сборник составлен для подготовки к ГИА по теме «Уравнения с одной переменной»…
Сборник заданий части С для подготовки к ЕГЭ по химии
Здесь собраны задания части С из материалов ЕГЭ по химии….
Сборник по подготовке к ЕГЭ авт.Щеголева Л.М. и Тимченко И.В. издан в журнале «Французский язык»
Сборник содержит различные виды заданий по подготовке к ЕГЭ….
Сборник по подготовке к ЕГЭ, ГИА по темам «Сказуемое и его основные виды», «Тире между подлежащим и сказуемым», «Односоставное предложение».
В связи с переходом образовательных учреждений РФ и в частности школ на новую форму итоговой аттестации в 9 классе возникает необходимость и в новом подходе к планировани…
Сборник по подготовке к ЕГЭ, ГИА по темам «Сказуемое и его основные виды», «Тире между подлежащим и сказуемым», «Односоставное предложение».
В связи с переходом образовательных учреждений РФ и в частности школ на новую форму итоговой аттестации в 9 классе возникает необходимость и в новом подходе к планировани…
Задания из сборника.Часть В 14 (по старому В 13)
Этот документ содержит основные задания из части.В-13.Для успешной сдачи экзамена рекомендую решить самим или с помощью учителя! Успехов!…
Устная часть ОГЭ. Задание 2. Сборник вопросов
Во втором задании устной части ученику предлагается принять участие в телефонном опросе, где у него есть 40 секунд, чтобы ответить на каждый из 6 вопросов….
1. Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.
2. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.
3. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза?
4. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза?
|
5. Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.
|
|
6. В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на
|
7. Объем шара равен 288 
. Найдите площадь его поверхности, деленную на .
8. Около куба с ребром 
описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .
9. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если его радиус увеличить в два раза?
|
10. Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
|
Слайд 2Содержание
Задача №1
Задача №2
Задача №3
Задача №4
Задача №5
Задача №6
Задача №7
Задача №
Задача №15
Задача № Задача №16
Задача № Задача №17
Задача № Задача №18
Задача № Задача №8
Задача № Задача №9
Задача № Задача №10
Задача № Задача №11
Задача № Задача №12
Задача № Задача №13
Задача № Задача №`4
Задачи для самостоятельного решения
Слайд 3Задача №1
Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара
Радиус большого круга является радиусом шара. Площадь первого выражается через радиус как Skp.=πR², а площадь поверхности сферы – как Sш.= 4πR². Видно, что площадь поверхности шара в 4 раза больше площади поверхности большого круга. Значит
Sш.= 4·3 = 12
Слайд 4Задача №2
Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара
увеличить в 2 раза?
Площадь поверхности шара выражается через его радиус формулой Sш.= 4πR², поэтому при увеличении радиуса вдвое площадь увеличится в 22 = 4 раза.
Слайд 5Задача №3
Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить
в три раза?
при увеличении радиуса втрое, объем шара увеличится в 27 раз.
Т.к. объём шара вычисляется по формуле:
V = 4/3·π·r³, то
Слайд 6Задача №4
Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во
сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Решение. 1) Объемы шаров соотносятся как
V1:V2= R1³: R2³= (R1/R2)³=27 => R1/R2 =3
2) Площади их поверхностей соотносятся как
S1:S2= R1²: R2²= (R1/R2)²=3²=9
Слайд 7Задача №5
Даны два шара. Диаметр первого шара в 8 раз больше
диаметра второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
S1:S2= R1²: R2²= (R1/R2)²=(d1/d2)²=8²=64
Слайд 8Задача №6
Однородный шар диаметром 3 см имеет массу 162 грамма. Чему
равна масса шара, изготовленного из того же материала, с диаметром 2 см? Ответ дайте в граммах.
Масса шара прямо пропорциональна его объёму. Объёмы шаров относятся как кубы их радиусов:
V1:V2= R1³: R2³= (R1/R2)³= (d1/d2)²=(2/3)³=8/27 = m1/m2
Следовательно, масса второго, меньшего шара равна 168·(8/27)= 48 грамм.
Слайд 9Задача №7
Даны два шара с радиусами 8 и 4. Во сколько
раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Решение. Т.к. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: S = 4π·r², то
1) Найдём площадь поверхности первого шара: 256π
2) Найдём площадь поверхности второго шара: 64π
3) Найдём отношение площадей: 256π : 64π = 4
Слайд 10Задача №8
Даны два шара с радиусами 2 и 1. Во сколько
раз объём первого шара больше объёма второго?
Решение. Т.к. объём шара вычисляется по формуле:
V = 4/3·π·r³, то
1) Найдём объём первого шара: 4/3·8π
2) Найдём объём второго шара: 4/3·π
3) Найдём отношение объёмов: 4/3·8π : 4/3·π = 8
Слайд 11Задача №9
Шар, объём которого равен 6π, вписан в куб. Найдите объём
куба.
Ребро куба равно двум радиусам вписанного в куб шара, поэтому объем куба, выраженный через радиус вписанного в него шара, находится по формуле Vk.=(2R)³= 8R³
Объём шара вычисляется по формуле
V= 4/3·πR³ и это равно 6π.
Значит 4/3·πR³= 6π => R³=18π/4π =9/2.
Тогда Vk.= 8R³= 8·(9/2)=36
Слайд 12Задача №10
В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого
шара, деленный на π .
Радиус вписанного в куб шара равен
половине длины ребра:
R=a:2=3:2=1,5
Слайд 13Задача №11
Объем шара равен 288π. Найдите площадь его поверхности, деленную на π
.
Из формулы объёма шара V = 4/3·π·r³ выразим радиус и вычислим его:
Тогда площадь поверхности шара будет равна
S = 4π·r² = 4π·36=144π
Слайд 14Задача №12
Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус
шара, объем которого равен сумме их объемов.
Объёма шара V = 4/3·π·r³
Поэтому cумма объёмов трёх шаров равна
Значит искомый радиус равен 12.
Слайд 15Задача №13
Около куба с ребром √3 описан шар. Найдите объем этого шара, деленный
на π .
Пусть длина ребра куба равна а, а его диагональ равна d. Радиус описанного шара R равен половине диагонали куба:
Ответ: 4,5
Слайд 16Задача №14
Радиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус шара, площадь
поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.
Из условия S3=S1+S2 и S = 4π·r²
найдём
Слайд 17Задача №15
Вершина А куба ABCDA1B1C1D1 со стороной 1,6 является центром сферы, проходящей через
точку A1. Найдите площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину S/π .
Решение. Так как одна из вершин куба является центром сферы с радиусом, меньшим либо равным стороне куба, в кубе содержится 1/8 сферы и, соответственно, 1/8 ее поверхности, равная
Слайд 18Задача №16
Середина ребра куба со стороной 1,9 является центром шара радиуса
0,95. Найдите площадь S части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите S/π .
Так как середина ребер куба является центром сферы, диаметр которой равен ребру куба, в кубе содержится 1/4 сферы и, соответственно, 1/4 ее поверхности.
Решение.
Слайд 19Задача №17
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара.
Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.
Слайд 20Задача №18
Куб вписан в шар радиуса √3 . Найдите объем куба.
Диаметр
шара, описанного вокруг куба, совпадает с его диагональю и вдвое больше радиуса. Поэтому диагональ куба равна 2√3. Если ребро куба равно а, то диагональ куба вычисляется по формуле d=a√3. Следовательно, ребро куба равно 2, а его объем равен 8.
Слайд 21
Задачи
для самостоятельного
решения
Слайд 22Задача №1 Решите самостоятельно
Площадь большого круга шара равна 41. Найдите площадь
поверхности шара. Ответ: 164
Площадь большого круга шара равна 10. Найдите площадь поверхности шара
Площадь большого круга шара равна 26. Найдите площадь поверхности шара
Слайд 23Задача №2 Решите самостоятельно
Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если
радиус шара увеличить в 45 раз?
Ответ: 2025
2) Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 16 раз?
3) Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 1,5 раза?
Слайд 24Задача №3 Решите самостоятельно
Во сколько раз увеличится объем шара, если его
радиус увеличить в 10 раз?
Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в 4 раза?
Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в 15 раз?
Слайд 25Задача №4 Решите самостоятельно
Объем одного шара в 2197 раз больше объема
второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Ответ: 169
2) Объем одного шара в 1331 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
3) Объем одного шара в 1000 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Слайд 26Задача №6 Решите самостоятельно
Однородный шар диаметром 3 см имеет массу 81
грамма. Чему равна масса шара, изготовленного из того же материала, с диаметром 5 см? Ответ дайте в граммах.
Ответ:375
Слайд 27Задача №7 Решите самостоятельно
Даны два шара с радиусами 5 и 1.
Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго? Ответ: 25
2) Даны два шара с радиусами 3 и 1. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго? Ответ: 9
3) Даны два шара с радиусами 14 и 2. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго? Ответ: 49
Слайд 28Задача №8 Решите самостоятельно
Даны два шара с радиусами 4 и 1.
Во сколько раз объём первого шара больше объёма второго?
Ответ: 64
Слайд 29Задача №10 Решите самостоятельно
В куб с ребром 21 вписан шар. Найдите
объем этого шара, деленный на π .
В куб с ребром 9 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на π .
В куб с ребром 18 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на π .
Слайд 30Задача №11 Решите самостоятельно
Объем шара равен 18 432 π. Найдите площадь
его поверхности, деленную на π .
Объем шара равен 12 348π. Найдите площадь его поверхности, деленную на π .
Объем шара равен 26.244π. Найдите площадь его поверхности, деленную на π .
Объем шара равен 972π. Найдите площадь его поверхности, деленную на π .
Слайд 31Задача №12 Решите самостоятельно
Радиусы трех шаров равны 2, 12 и 16.
Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.
Ответ:18
2) Радиусы трех шаров равны 1, 6 и 8. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.
3) Радиусы трех шаров равны 15, 20 и 25. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.
Слайд 32Задача №13 Решите самостоятельно
Около куба с ребром √243 описан шар. Найдите объем этого
шара, деленный на π . Ответ:
Около куба с ребром √300 описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на π .
Около куба с ребром √507 описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на π .
Слайд 33Задача №14 Решите самостоятельно
Радиусы двух шаров равны 21, 72. Найдите радиус
шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей. Ответ: 75
2) Радиусы двух шаров равны 8, 15. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.
3) Радиусы двух шаров равны 32, 60. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.
Слайд 34Задача №15 Решите самостоятельно
Вершина А куба ABCDA1B1C1D1 со стороной 1,2 является центром сферы,
проходящей через точку A1. Найдите площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину S/π .
Вершина А куба ABCDA1B1C1D1 со стороной 0,7 является центром сферы, проходящей через точку A1. Найдите площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину S/π .
Вершина А куба ABCDA1B1C1D1 со стороной 0,9 является центром сферы, проходящей через точку A1. Найдите площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину S/π .
Слайд 35Задача №16 Решите самостоятельно
Середина ребра куба со стороной 1,8 является центром
шара радиуса 0,8. Найдите площадь S части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите S/π .
2) Середина ребра куба со стороной 2,4 является центром шара радиуса 1,2. Найдите площадь S части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите S/π .
Слайд 36Задача №17 Решите самостоятельно
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен
радиусу шара. Объем конуса равен 27. Найдите объем шара.
2) Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 45. Найдите объем шара.
3) Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 12√3. Найдите объем шара.
Слайд 37Задача №18 Решите самостоятельно
Куб вписан в шар радиуса 0,5√3 . Найдите объем
куба. Ответ: 1
Куб вписан в шар радиуса 10,5√3 . Найдите объем куба.
Куб вписан в шар радиуса 8√3 . Найдите объем куба.
Куб вписан в шар радиуса 15,5√3 . Найдите объем куба.
Слайд 38Используемые ресурсы
Шаблон подготовила учитель русского языка и литературы Тихонова Надежда Андреевна
«Решу
ЕГЭ» Образовательный портал для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ. Режим доступа: http://mathb.reshuege.ru
http://sch-53.ru/files/director/GIA/2016/%D0%95%D0%93%D0%AD%202016.jpg
Автор и источник заимствования неизвестен
http://www.ourcity.ru/images/art/img_big_1274700246.jpg
http://oboi.ucoz.de/_ph/4/980025544.jpg
http://gym1517.narod.ru/awg/d55.jpg
Цилиндры, сферы и конусы: будем вписывать их в другие объекты, будем рассекать их различными плоскостями, отыскивать углы наклона этих сечений к основанию или их площади.
Задача 1.
В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.
Сфера вписана в пирамиду
Так как сфера касается всех граней, то точки касания обязательно лежат на апофемах граней. Нарисуем пирамиду в разрезе, причем разрез пройдет по апофемам противолежащих граней. Тогда сечение – треугольник MSN, а сечение сферы – вписанная в этот треугольник окружность. Разберемся, отрезки каких длин в этом сечении присутствуют. Так как высота пирамиды 6, а боковое ребро 10, найдем длину отрезка :
Так как основание пирамиды составлено из правильных треугольников, то длина равна ребру основания. Теперь можем определить длину апофемы:
Основание треугольника сечения составлено из двух одинаковых отрезков, которые равны высоте треугольника , например. Так как это правильный треугольник со стороной 8, то высота этого треугольника равна , а длина MN тогда .
Сечение пирамиды
Итак, теперь мы знаем стороны треугольника сечения : , .
Определим радиус вписанной в него окружности.
Вписанная в сечение пирамиды окружность (сечение сферы)
Как известно, радиус вписанной окружности можно определить через площадь:
Теперь, зная радиус, можно найти и площадь поверхности сферы:
Ответ:
Задача 2.
Радиус основания конуса равен 6, а его высота равна 8. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 4. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.
Сечение конуса
Образующую конуса можно найти из осевого сечения по теореме Пифагора.
Отрезок OP – высота треугольника . В треугольнике MON стороны равны 4, 6 и 6, определим его площадь по формуле Герона и затем найдем высоту:
Полупериметр треугольника MON равен 8, площадь:
Искомое расстояние – высота треугольника , проведенная к SP.
Определим высоту сечения SP.
Дополнительные построения к задаче
По теореме Пифагора
Площадь треугольника SOP:
Наконец, искомое расстояние:
Ответ:
Задача 3.
В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.
Пирамида, в которую надо вписать сферу
Так как сфера касается всех граней, то точки касания обязательно лежат на апофемах граней. Нарисуем пирамиду в разрезе, причем разрез пройдет по апофемам противолежащих граней. Тогда сечение – треугольник SQP, а сечение сферы – вписанная в этот треугольник окружность. Разберемся, отрезки каких длин в этом сечении присутствуют. Так как высота пирамиды 6, а боковое ребро 10, найдем длину отрезка :
Тогда равна , так как треугольник — равнобедренный и прямоугольный, имеет острые углы по , тригонометрические функции которых хорошо известны:
Определим длину апофемы грани:
В треугольнике SQP стороны: ,
Определим радиус вписанной в него окружности.
Как известно, радиус вписанной окружности можно определить через площадь:
Теперь, зная радиус, можно найти и площадь поверхности сферы:
Ответ:
Задача 4.
Радиус основания конуса с вершиной равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки и , делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:5. Найдите площадь сечения конуса плоскостью .
Дуги окружности основания конуса и сечение
Длины дуг окружности пропорциональны центральным углам, поэтому , . Таким образом, поскольку радиус основания конуса равен 6, то треугольник MON правильный и длина хорды . Далее просто пользуемся формулой Герона для определения площади сечения:
Ответ:
Задача 5.
Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,84. Найдите радиус шара.
Сфера и ее сечения
Площадь сечения шара плоскостью – окружность. Площадь окружности
Большая окружность проходит через центр сферы, поэтому ее радиус – радиус сферы R.
Тогда отношение площадей:
Рассмотрим треугольник . В нем , , .
Это прямоугольный треугольник, поэтому
Или
Тогда:
Получили уравнение:
Ответ: