Задания с параметром егэ профиль как научиться решать

Задание № 18 варианта КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня

Задача с параметром – для обычного школьника одна из самых сложных задач варианта КИМ ЕГЭ: в программах по математике для общеобразовательных школ (за исключением профильных и специализированных классов, школ и лицеев) таким задачам либо не уделяется должного внимания, либо они не рассматриваются вовсе. Несмотря на это, знание набора методов и подходов к решению таких задач и определенная практика их решения позволяют продвинуться в решении задачи с параметром достаточно далеко и если уж не решить ее полностью, то хотя бы получить за нее некоторое количество баллов на экзамене.

Ранее, до появления единого государственного экзамена, задачи с параметрами входили в варианты вступительных экзаменов по математике в ведущие вузы, а сегодня входят в вариант КИМ ЕГЭ профильного уровня. Дело в том, что эти задачи обладают высокой диагностической ценностью: они позволяют не только определить, насколько хорошо выпускник знает основные разделы школьного курса математики, но и проверить, насколько высок уровень его математического и логического мышления, насколько сильны первоначальные навыки математической исследовательской деятельности, а главное – насколько успешно он сможет овладеть курсом математики в вузе.

«Научите меня решать задачи с параметром», – такую просьбу я часто слышу от своих учеников. Что ж, эта задача потребует от выпускника немало интеллектуальных усилий. С чего начать изучение? С освоения методов решения задач с параметром. Собственно, если вы внимательно читали наши рекомендации, как подготовиться к решению сложных задач варианта КИМ ЕГЭ, то заметили, что это универсальный совет. Именно так построен наш курс «1С:Репетитор»: изучаем как можно более широкий спектр методов и приемов решения задач и тренируемся в применении этих методов на практике.

Чему нужно научиться, решая задачи с параметром

В первую очередь – правильно применять равносильные преобразования уравнений, неравенств и их систем. То есть понять, при каких ограничениях, накладываемых на параметр, можно выполнять то или иное преобразование. Лучше всего начать с заданий вида: «Для каждого значения параметра решить…» и рассмотреть по возможности все основные элементарные функции, встречающиеся в школьном курсе математики.

Если с несложными задачами такого вида школьник справляется неплохо, то можно переходить к изучению аналитических методов решения задач, содержательно усложняя и классифицируя задачи с точки зрения применения к ним этих методов исследования. Имеется в виду знакомство с подходами к решению задач, содержащих формулировки типа: «При каких значениях параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно (два, три, бесконечно много и т.д.) решений», «При каких значениях параметра решением уравнения (неравенства, системы) является некоторое подмножество множества действительных чисел» и т.д.

Следующий шаг, который мы рекомендуем, – тщательно изучить схему исследования квадратичной функции. Поскольку квадратичная функция является одной из самых хорошо изученных в школьном курсе математики, на ее основе можно предложить большое количество исследовательских задач, разнообразных по форме и содержанию, чем и пользуются составители вариантов КИМ ЕГЭ.

Мы рекомендуем подойти к рассмотрению данных задач по следующей схеме:

задачи, основанные на свойствах дискриминанта и старшего коэффициента квадратного трехчлена;

применение теоремы Виета в задачах с параметром;

расположение корней квадратного трехчлена относительно заданных точек;

более сложные задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена.

Следующая тема курса – графические методы решения задач с параметром

Существует два принципиально различных подхода – построение графиков функций или уравнений в плоскости (x; y) или в плоскости (x; a). Кроме того, для графического метода решения задач с параметром в плоскости (x; y) необходимо рассмотреть различные виды преобразования графиков – обычно это параллельный перенос, поворот прямой и гомотетия. Есть класс задач, решение которых основано на аналитических свойствах функций (области определения, области значений, четности, периодичности и т.д.), эти свойства и приемы их использования тоже нужно знать.

На этом перечень методов решения задач с параметрами, разумеется, не заканчивается, но анализ вариантов КИМ ЕГЭ профильного уровня и практика показывают, что в настоящее время этого достаточно для успешного решения задачи № 18 на экзамене.

В заключение отметим, что выстроить подобный курс самостоятельно, без преподавателя, обычный школьник не сможет, даже имея под рукой хорошие учебные пособия по методам решения задач с параметром. Здесь необходима помощь опытного наставника, который сможет подобрать нужные задачи и выстроить траекторию движения школьника по ним.

Заметим, кстати, что весьма эффективным инструментом для изучения именно методов решения задач с параметром являются интерактивные тренажеры с пошаговым разбором решения.

Работая с таким тренажером, школьник одновременно учится выстраивать логику решения задачи с параметром и контролирует правильность выполнения каждого шага решения. Это очень важное умение, так как одна из основных сложностей в решении задачи с параметром состоит в том, что необходимо на каждом шаге решения понимать, что означают уже полученные результаты и что (в зависимости от этих результатов) еще остается сделать, чтобы довести решение до конца.

Регулярно тренируйтесь в решении задач

Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно Зарегистрироваться.
Вы можете:

• Начать заниматься бесплатно.
• 
  Купить доступ к этой задаче в составе
  экспресс-курса «Алгебра» и научиться решать задачи №13, №15, №17, №18 и №19 на максимальный балл.

Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.

Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.

23 апреля 2017

В закладки

Обсудить

Жалоба

Параметры. От простого к сложному. Практикум по решению задач

Решение задач с параметрами является одним из самых трудных разделов школьной математики и требует большого количества времени на их изучение.

Теоретическое изучение физических процессов, решение экономических задач часто приводит к различным уравнениям или неравенствам, содержащим параметры, и необходимой частью их решения является исследование характера процесса в зависимости от значений параметров. Таким образом, задачи с параметрами представляют собой небольшие исследовательские задачи.

Автор: Агашкова Надежда Анатольевна.

pr-sl-p.pdf

Сразу оговорюсь — для того, чтобы научиться решать задачи с параметром, не выйдет просто прочитать краткую инструкцию с указаниями, что вам делать. Нужно потратить некоторое время, чтобы научиться решать такие задачи. Здесь необходимо развитое аналитическое мышление (задачи бывают совершенно разные и нужно уметь анализировать разные функции), отличное умение решать все типы уравнений и неравенств (если вы не можете решить любое задание С1 или С3, то для вас будет очень сложно решить и С6), знание, как ведут себя различные функции и умение строить их графики. Как видите, все не так уж просто, но и 4 первичных балла дают не просто так. Тем не менее, решить С6 более чем реально, нужно набраться терпения. На самом деле, не так уж и много материала, да и раз вы задумались о С6, скорее всего, большинство необходимых знаний у вас есть, в основном придется потратить время на отработку практических навыков и разбор различных методов решения. Материал разбит на несколько частей, и я рекомендую внимательно их изучить, разбирая представленные примеры.

Решение уравнения или неравенства с параметром обычно предполагает несколько случаев, и ни один из них нельзя потерять.
Для того, чтобы решить задачу с параметром, необходимо для начала преобразовать заданное выражение к более простому виду, если это, конечно, возможно. При этом необходимо понимать, какие преобразования являются равносильными, а какие нет. В противном случае могут появиться посторонние корни, которые будет нужно проверить (это не всегда просто, поэтому рекомендую стараться использовать равносильные преобразования).

Рекомендации к выполнению задания 18 ЕГЭ:

1. Надо избавиться от логарифмов, модулей, показательных степеней и т.д.
2. Еще раз внимательно прочитать задание. Понять, что от вас требуется.
3. Попытаться проанализировать получившееся после преобразований выражение на наличие каких-либо специальных свойств функции (периодичность, возрастание/убывание, четность/нечетность и т.д.)
4. Часто решить задачу с параметром можно и удобно при помощи графиков. Иногда удобно выполнять построения на обычной координатной плоскости (Х, У), а иногда удобно построить графики в плоскости (Х, а), где а – параметр. Данный способ решения возможен, если вы видите знакомые функции (параболы, прямые, гиперболы, окружности и т.д.). Разумеется, бывает несколько способов решения поставленной задачи, но графический, как правило, наименее громоздок и прост для понимания. Ведь графики показывают поведение функций, и весь необходимый анализ появится у вас перед глазами.
5. Важно помнить, что методы решения уравнения или неравенства зависят от степени многочлена. Для этого необходимо рассматривать те значения параметра, при которых (если это возможно) обращается в нуль коэффициент при старшей степени. Пример: (a*x^2-3*x+1=0), при (a=0) выражение принимает вид (-3*x+1=0), т.е. превращается в линейную функцию, а способы решения квадратного и линейного уравнений различны.

Глава 5.

Ответы на задачи для самостоятельного решения

1. a≤ ; ≤a≤3; a3.

2. aЄ( ;-1)U(0; ).

3. aЄ{ ;-2]U[0; ].

4. aЄ(-∞;0)U(0;2].

5. aЄ(- ;- )U[- ; )

6. aЄ(-∞;- )U(- ;0).

7. a=-1.

8. aЄ(1.5;+∞).

9. aЄ[-2; ].

10) aЄ(-4;-3).

11) (-2;-6), (6;2).

12) aЄ[ ;√3].

Методическое пособие по решению задач с параметром из ЕГЭ.

Тамбов

2018 год

Оглавление

Глава 1.Кратко о параметре
Глава 2.Простые примеры задач с параметром
Глава 3.Методы решения задач среднего уровня сложности
Глава 4.Параметр в ЕГЭ 2018 года
Глава 4.1.Функции, зависящие от параметра
Глава 4.2.Уравнения с параметром
Глава 4.3.Неравенства с параметром
Глава 4.4.Системы с параметром
Глава 5.Ответы на задачи для самостоятельного решения

Ответ: a=1/4.

Задачи для самостоятельного решения:

10)Определите все значения параметра a, при каждом из которых система имеет ровно два решения.

11)При каких значениях параметров a и b система имеет бесконечно много решений?

12)Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств имеет хотя бы одно решение на отрезке [3;4].

или с точкой В, то условие задачи выполнено.

Решим неравенство 0≤ ≤a. Получается, что 1≤a≤6.

Ответ: aЄ[1;6].

3 задача: Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два решения.(Источник: Портал РешуЕГЭ задание 484630)

Решение: Заменим первое уравнение разностью, а второе – суммой исходных уравнений: .

При a система решений не имеет. При a≥1/4 получаем:

y=x-1 или y=x+1

y=- x- или y= -x+

Ясно (см. рисунок), что при a1/4 система имеет четыре решения (координаты точек A, B, C и D), а при a=1/4 — два решения (координаты точек M и N).

Глава 1.

Коротко о параметре

Если в уравнении, помимо переменной x, есть переменная a и требуется решить это уравнение относительно x, считая переменную a постоянной, то данное уравнение будет называться уравнением с одной переменной x и параметром a.

Определение: параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

Особенность уравнений с параметрами:
с одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой — конкретное значение параметра не дано. С одной стороны, параметр является величиной постоянной, а с другой — может принимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении — это «неизвестная величина», «переменная постоянная». Этот «каламбур» довольно точно отражает суть тех сложностей, которые встают перед теми, кто решает уравнения с параметром.

Глава 2.

Простые примеры задач с параметром

Чаще всего в задачах содержится один параметр, хотя бывают случаи, когда параметров больше одного. Решить уравнение с параметром – значит указать для каждого значения параметра множество решений уравнения.

Самые простые задачи с параметром и их решения:

1. x/2=a = x=2a при любом a

2. ax=10 = x=10/a = x=10/a при a≠0

3. x=√a = x=√a при a≥0

4. 2ax–4=0 = 2ax=4 = x=2/a = x=2/a при a≠0

5. |x|=a–1 = a–1≥0 = x=a–1 или x=1–a при a≥1 

Как можно увидеть, простейшие задачи с параметром чем-то напоминают обычные задачи, в которых нужно посчитать значение x. Разница лишь в том, что в данном случае x выражается через переменную a.

Глава 3.

Методы решения задач среднего уровня сложности

ординаты точки А, но не большие 4. Имеем:

a=-(-12+8√2)-4=8-8√2.

Тогда система будет иметь решения при 8-8√2≤a≤4.

Ответ: aЄ[8-8√2;4].

2 задача: Найдите все неотрицательные значения a , при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение.( Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 27.04.2016 вариант МА10509)

Решение: Первому уравнению системы удовлетворяют те и только те точки (x;y), которые лежат на отрезке AB прямой, соединяющей точки A(-2;0) и B(0;a), где a≥0, поскольку уравнение задаёт множество точек (x;y), сумма расстояний от каждой из которых до точек А и В равна , что равно длине отрезка АВ.

Второму уравнению системы удовлетворяют те и только те точки (x;y), которые лежат на прямой y= параллельной оси абсцисс и проходящей через точку С(0; .
Отсюда следует, что условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда точка С лежит между точками О и В, причём если точка С совпадает с точкой А

Решение: Преобразуем систему:

Первое неравенство задает на плоскости xOa квадрат, ограниченный отрезками прямых a=x+4, a=x-4, a=-x-4, a=- x+4, а неравенство задает часть плоскости внутри параболы с вершиной (-4;-4), ветви которой направлены вверх. Найдем координаты точки А пересечения параболы с прямой a=-x-4:

= -x-4   x²+24x+16=0 

x=-12±8√2

М еньший корень -12-8√2x=-1 и x=0. Тогда искомыми являются значения параметра, большие

Всего существует 3 основных способа решения задач, содержащих параметр. Рассмотрим каждый из них:

1 способ: аналитический. Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Аналитический способ решения задач с параметром бывает довольно трудным, он требует высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Пример задачи с аналитическим способом решения: При каких значениях параметра a уравнение 5^2x-3*5^x+a— -1=0 имеет единственный корень?

Решение: Сделаем замену 5^x=t, t0. Тогда наше уравнение примет вид: t²-3*t+a-1=0. У этого уравнения 1 корень будет в двух случаях:

1. Если дискриминант будет равен нулю

2. Если дискриминант будет больше нуля, но один из корней будет отрицательный

Рассмотрим эти два случая:

1. D=9-4a+4=13-4a=0

Отсюда получаем a=13/4 – первый подходящий корень.

2) D=13-4a

Тогда корни будут такие:

Возьмем первый корень положительным, а второй наоборот. В таком случае условие единственного ответа будет выполнено.

Решая неравенство t=(3+√(13-4a))/20 получаем, что,

a≤1.

Значит в ответ нужно записать, что aЄ(-∞;1)U{13/4}.

2 способ: графический. В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).

Пример задачи с графическим способом решения: При каких a уравнение |x²+2x–3|–2a=|x–a|+3 имеет ровно три корня?

Решение: Используем графический метод решения. График функции y=|x²+2x–3| отличается от параболы y=x²+2x–3 только тем, что отрицательная ее область зеркально отражается вверх относительно

Задачи для самостоятельного решения:

7)Найдите все целые отрицательные значения параметра a, при каждом из которых существует такое действительное число ba, что неравенство 20b≥6|2a+b|+2|b-2|-|2a—b|-5|4a²-b+2| не выполнено.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых на интервале (1;2) существует хотя бы одно число x, неудовлетворяющее неравенству a+ ≤3x—x².

9)Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство |x²-4x+a|≤10 выполняется для всех xЄ[a;a+5].

Глава 4.4.

Системы с параметром

Ниже представлены несколько задач за данную тему и их решения.

1 задача: Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств имеет хотя бы одно решение на отрезке [-1;0].( Источник: ЕГЭ по математике — 2017. Досрочная волна, резервный день, вариант А. Ларина (часть С))

-1/5 ]

0≤a≤3: (1;2)

3a ;2)

a≥8: пустое множество

Ответ: aЄ(-∞;-1/5]U[8;+∞).

3 задача: Найдите все значения a , при каждом из которых неравенство | выполняется при всех x.(Источник: Портал РешуЕГЭ задание 500115)

Решение: Поскольку знаменатель левой части больше нуля при любом x, получаем: |x²+ax+1|x²+3x+3.

Решим полученное неравенство:



Чтобы любое значение x удовлетворяло этой системе неравенств, дискриминанты левых частей должны быть отрицательными:

  -1.

Ответ:aЄ(-1;5).

оси OX (ведь модуль не может принимать отрицательных значений).

График функции y=|x–a|+2a+3 представляет собой всем известную «галочку», вершина которой смещена в точку (a;2a+3). В зависимости от значений параметра  возможны следующие варианты взаимного расположения этих графиков на координатной плоскости:

Видно, что три решения уравнение будет в случаях 2 и

4.

Первый случай выполняется при условии выполнении равенства 0=|-3-a|+2a+3. В этом случае модуль раскрывается в минусом, поэтому a=-2.

Во втором случае оба модуля раскрываются с минусом, получается квадратное уравнение x²+x+3a=0.Для выполнения условия, дискриминант этого уравнения должен быть равен 0. Это выполняется при a=1/12.

Значит в ответ нужно записать, что a={-2;1/12}.

3 способ: решение относительно параметра. При таком решении x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

Пример задачи с этим способом решения: Для всех действительных значений параметра a решите уравнение x³–-(2–a)x²–ax–a(a–2)=0.

Решение: Для начала давайте раскроем скобки и посмотрим, что у нас получится. После раскрытия скобок уравнение примет вид: x³–a²+ax²–ax+2a–2x² = 0. Можно заметить, что, являясь кубическим относительно x, это уравнение квадратное относительно переменной a.

достаточно, чтобы одновременно выполнялись 2 условия: f(0)



Пересечение этих промежутков и будет ответом.

Ответ: aЄ

2 задача: Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство | (Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 1. (Часть C))

Решение: Преобразуем исходное неравенство, приведя левую часть к одному знаменателю: | |≤2  

Решим неравенство на интервале (1;2):

a≤-1/5:пустое множество

Неравенства с параметром

Ниже представлены несколько задач за данную тему и их решения.

1 задача: Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства содержит отрезок [-2 ].(Источник: Задание 18 (Сб) ЕГЭ 2015)

Решение: Заметим, что при любых значениях переменной x и параметра a знаменатель дроби в левой части неравенства положителен, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало отрезок [-2 ] синус должен принимать значения 0≤ 1. Пусть =1-2t² и неравенство принимает вид

 t²-(a²-2a-3)t-

-a²+a+2

Введем функцию: f(t)= t²-(a²-2a-3)t-a²+a+2

Для того, чтобы выполнялось наше условие, необходимо и

Поэтому, считая переменную x параметром, перепишем это уравнение в виде стандартного квадратного уравнения относительно a: –a²+(x²–x+2)a+x³–-2x² = 0.

Преобразуем: a²–(x²–x+2)a –x³ + 2x² = 0.

x²–x+2=x²+(2–x)

–x³+2x² =x²(2–x)

Легко заметить, что в первом случае можно увидеть сумму квадратов, а во втором их произведение. Поэтому по теореме, обратной теореме Виета получаем, что a₁=x², a₂=2–x. Исходное уравнение преобразуется в совокупность из двух: a=x² и a=2–x.

Из того, что x²=a следует, что:

1)при a решений нет

2)при a=0 решение будет всего одно, x=0

3)при a0 решений два, x=√a и x=–√a

Второе уравнение совокупности будет иметь 1 корень при любом a.

Мы смогли найти все решения исходного уравнения для любого действительного значения параметра: x=2–a

при a; x=0 или x=2 при a=0; x=√a или x=-√a или x=2-a при a0.

Легко заметить, что при a=1 равенства x=2–a и x=√a принимают одинаковое значение x=1. Можно легко найти второй такой корень, приравняв x=2–a и x=–√a. Это будет x=–2 при a=4.

Значит ответ нужно записать в таком виде: x=2-a при a₁=0, x₂=2 при a=0; x=√a, x=-√a и x=2–x при 0aaa4; x=1, x=–1 при a=1; x=2, x=–2 при a=4.

Глава 4.

Параметр в ЕГЭ 2018 года

Чтобы решить задание 18 по математике профильного уровня нужно знать: 

1. Задание 18 в ЕГЭ подразделяется на несколько видов:

   • 1) функции, зависящие от параметра;

   • 2) уравнения с параметрами;

   • 3) неравенства с параметрами;

   • 4) системы и неравенства с параметрами.

2. Пусть задано уравнение f(x; a) = 0, которое следует решить относительно переменной х, а произвольное действительное число обозначено буквой а, то f(x; a) = 0 – это уравнение с параметром а.

Число x=5-3a лежит на отрезке [0;2], если 1≤a≤5/3. Тогда для второго случая получаем: 1≤a≤5/4.

Корень x=5-3a равен x=3a-1, если a=1.

Значит исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0;2] при 7/8.

Ответ: aЄ(7/8;5/4).

Задачи для самостоятельного решения:

4)Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение x²+(x-1)* =x имеет ровно один корень на отрезке [0; 1]

5)Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

6)Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет ровно 3 решения.

Глава 4.3.

Имеем такую систему:

Упрощая эти неравенства, получаем:

Число 3a-1 лежит на отрезке [0;2], если 1/3≤a≤1. Тогда для первого случая получаем: 7/8

Второй случай:

при условии, что 3a-x0. Получаем:

• Решить неравенство с параметром  — это значит исследовать каким будет решение неравенства для всех возможных значений параметра. 

• Решить уравнение с параметром – это значит найти все значения параметров, при которых данное уравнение имеет решение.

Линейные уравнения с параметрами — общий вид  ax = b ,где a, b – параметры.

Обратите внимание: для данного вида уравнения контрольным значением параметра является то значение, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра а является значение а=0. 

1. 1)Если а≠0, то при любой паре параметров а и b оно 

2. имеет единственное решение .

3. 2)Если а=0, то уравнение принимает вид 0х=b. В этом случает значение b=0 является особым значением параметра b.

4. 3)При b≠0 уравнение решений не имеет.

5. 4)При b=0 уравнение примет вид:0х=0. Решением данного уравнения является любое действительное число.

Дробно-рациональные уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным.

При решении данного типа уравнений следует дробное уравнение заменить целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. Далее следует решать уравнение по известному алгоритму, исключив посторонние корни, т. е. те числа, которые обращают общий знаменатель в ноль (решить уравнения относительно параметра). 

Показательные уравнения с параметрами

Многие показательные уравнения с параметрами сводятся к элементарным показательным уравнениям вида а^f (x) = b^φ(х) 

(1), где а 0, b 0.

ОДЗ такого уравнения находится как пересечение 

областей допустимых значений функций f(x) и φ(х). 

Для решения уравнения (1) нужно рассмотреть 

следующие случаи:

1. 1)При a=b=1 решением уравнения (1) является область его допустимых значений D.

2. 2)При а=1, b≠1 решением уравнения (1) служит решение уравнения φ(х)=0 на области допустимых значений D.

3. 3)При а≠1, b=1 решением уравнения (1) служит решение уравнения f(х)=0 на области допустимых значений D.

4. 4)При a=b (a0, a≠1, b0, b≠1) уравнение (1) равносильно уравнению f(x)=φ(х) на области D.

5. 5)При a≠b (a0, a≠1, b0, b≠1) уравнение (1) тождественно уравнению  на области D.

Ответ: a-9/16.

2 задача: Найдите все значения a, при каждом из которых модуль разности корней уравнения x²-6x+12+a²-

-4a=0 принимает наибольшее значение.(Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016)

Решение: По теореме Виета получаем, что =6 и =12+a²-4a. Отсюда получается, что искомая разность равна | |= =

=

Следовательно, нужно только найти наибольшее значение выражения = -4(a-2)²+4. Оно будет равно 4 и будет достигаться при a=2. Следовательно, наибольшая разность корней будет равна √4=2.

Ответ: a=2. При этом модуль разности корней равен 2.

3 задача: Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].(Источник: Задание 18 (С6) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 401 (C часть))

Решение: Имеем уравнение вида ab=ac, откуда на ОДЗ либо a=0, либо b=c. Рассмотрим эти 2 случая:

Первый случай:

=0 при условиях:

Ответ: a=0, a≥2.

Задачи для самостоятельного решения:

1)Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество значений функции содержит отрезок [0;1].

2)Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции y=3|x+a|+|x²-x—

—2| меньше 2.

3)Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции f(x)=|x²+2x-3|+4|x—

-a| не больше 3.

Глава 4.2.

Уравнения с параметром

Ниже представлены несколько задач за данную тему и их решения.

1 задача: Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 64 — -3x=a имеет более одного корня.(Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016)

Решение: Преобразуем уравнение 64 =

= +a).

Рассмотрим функцию f(x)=t³+t. Она монотонно возрастает как сумма двух возрастающих функций. Поэтому уравнение f(4x²)=f(3x+a) равносильно уравнению 4x²=3x+a. Оно имеет более одного корня в тех случаях, когда дискриминант уравнения 4x²-3x—a=0 положителен. То есть когда 9+16a0, a-9/16.

Глава 4.1.

Функции, зависящие от параметра

Ниже представлены несколько задач за данную тему и их решения.

1 задача: Найдите все значения a, при каждом из которых наибольшее значение функции f(x)=|x—a|-x² не меньше 1. (Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016)

Решение: Чтобы наибольшее значение данной функции было не меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы она в какой-то точке приняла значение 1. Поэтому можно сказать, что |x—a|-x²≥1. В зависимости от переменной a это неравенство равносильно системе неравенств:

Решая эти неравенства получаем 2 дискриминанта:

D=-3-4a и D=-3+4a. Неравенства будут иметь решения, если эти дискриминанты неотрицательны. Решая -3-4a≥0 и -3+4a≥0 получаем, что a≤-3/4 и a≥3/4.

Ответ: aЄ(-∞;-3/4]U[3/4;+∞).

:

2 задача: Найти все значения параметра a, при каждом из которых среди значений функции y=(x²-2x+a)/(6+x²) есть ровно одно целое число.(Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 2010 год ва­ри­ант 501. (Часть С))

Решение: Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Уравнение (x²-2x+a)/(6+x²)=1 при любом a имеет решение x=(a-6)/2. Значит, при любом a одно из значений функции равно 1.

Поскольку функция непрерывна, множество её значений образует промежуток, включающий число 1. Других целых значений функции нет, если для всех x:

0(x²-2x+a)/(6+x²).

Это равносильно системе неравенств:

Чтобы неравенства выполнялись для всех x дискриминанты обоих трёхчленов должны быть отрицательны, следовательно:

Ответ: aЄ(1;11).

3 задача: Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение f(x)=4x²-4ax+a²+2a+2 на множестве |x|≥1 не меньше 6.(Источник: Портал РешуЕГЭ задание 500471)

Решение: Графиком функции f(x)=4x²-4ax+a²+2a+

+2 является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина имеет координаты (a/2;2a+2).

• Значит, минимум функции f(x) на всей числовой оси достигается при x=a/2.

• На множестве |x|≥1  эта функция достигает наименьшего значения либо в точке x=a/2, если эта точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек x=±1.

• Если наименьшее значение функции не меньше 6, то и всякое значение функции не меньше 6. В частности,

• 

• Упрощая, получаем систему неравенств:

• 

• Решая эту систему, получаем значения a:

• a€(-∞;-6]U{0}U[2;+∞).

• Но нам подходят не все данные корни. Сделаем отбор корней.

• 1) Если a≤-6, то a/2≤-3 значит, наименьшее значение функции достигается в точке a/2 и f(a/2)=2a+2=

• =-10, что не удовлетворяет условию задачи.

• 2) Если a=0, то a/2=0, значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек x=±1, в которых значение функции не меньше 6.

• 3)Если a≥2, то a/2≥1, значит, наименьшее значение функции достигается в точке x=a/2 и f(a/2)=2a+2≥6, что удовлетворяет условию задачи.

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Лицей №14 имени Заслуженного учителя Российской Федерации А.М. Кузьмина»

М етодическое пособие по решению задач с параметром из ЕГЭ.

Тамбов

2018 год